球面的表面积

球体是一个完美的圆形几何三维物体。它可以被描述为位于距离上的所有点的集合 $R$（半径）远离给定点（中心）。它完全对称，没有边或顶点。

有半径的球体 $R$有一卷 $\frac{4}{3}\pi r^3$和表面积属于 $4\pi r^2$.

球体有几个有趣的特性，其中之一是，在具有相同表面积的所有形状中，球体的体积最大。

证明球面的表面积为半径 $R$是 $4\pi r^2$，我们可以使用的一种简单的方法是微积分。我们首先必须认识到，对于由 $x（t）$和 $y（t）$)，即弧长是

$S=\int\u a^b\sqrt{\left（\frac{dy}{dt}\right）^2+\left（\frac{dx}{dt}\right）^2}，dt。$

由此我们可以推导出固体表面积的公式，该公式是通过旋转固体表面来获得的 $x$-轴心国。结果是

$A=2\pi\int\u A^b y\sqrt{\左（\frac{dy}{dt}\右）^2+\左（\frac{dx}{dt}\右）^2}，dt。$

我们可以绕地球旋转半圈得到一个球体 $x$-轴心国。此圆可以参数化为 $x（t）=r\cos（t）$和 $y（t）=r\sin（t）$对于 $0\leq t\leq\pi$. 从这里，我们得到

$\frac{dx}{dt}=-r\sin（t），\quad\frac{dy}{dt}=r\cos（t）。$

在我们的方程式中用表面积代替

$\开始{aligned}A&=2\pi\int\u 0^\pi r\sin（t）sqrt{big（-r\sin（t）big）^2+\big（r\cos（t）big）^2}\dt\\&=2\pi\int\u 0^\pi r\sin（t）sqrt{r^2\big（\sin（t）2+\cos（t）^2\big）}\dt_\方形\结束{对齐}$

阿基米德帽盒定理

阿基米德帽盒定理指出，对于任何球体截面，其侧面将等于圆柱体的侧面，圆柱体的高度与截面相同，半径与球体相同。

让我们回忆一下我们最后的证明部分。将半圆绕 $x$-axis，我们将获得球体的表面积，如果我们仅切割具有平行基底的部分截面，新的表面积将显示在下图中：

从图像上看，截面的侧表面积为浅蓝色，有两个不同半径的圆形基底。为了更好地显示剖面的高度，此剖面将旋转90度，如下所示：

现在在这个区域内，有两个可变角度， $\角a$和 $\角b$，显示为剖切截面的整体边界。

根据证明的结论，截面的表面积 $(A)$可计算为

$\开始{aligned}A'&=2\pi r^2\int\u A^b\sin（t）\dt\\&=2\pi r^2\left[\left.\cos（t）\right\u A^b\right]\\&=（2\pi r）r\big[\cos（A）-\cos（b）\big]\结束{对齐}$

考虑带半径的直角三角形 $R$（深红色）在图像中，很明显 $R$都是斜边。因此，垂直边可以计算为 $r\times\cos（a）$和 $r\times\cos（b）$分别用于左三角形和右三角形。

因此，截面高度为 $h=\big（r\times\cos（a）\big）-\big（r\times\cos（b）\big）=r\big[\cos（a）-\cos（b）\big]$.

将这一项代入前面的方程式，得到

$A'=（2\pir）r\big[\cos（A）-\cos（b）\big]=2\pir。$

很明显，这是圆柱体侧面半径的公式 $R$身高 $H$!

这意味着球体截面的横向表面积等于具有半径的圆柱体的横向表面积 $R$身高 $H$如图所示，这适用于所涉及球体的任何级别。 $_\方格$

半径为3的球体的表面积是多少？

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表面积为 $4\pi\乘以3^2=36\pi$. $_\方格$

如果球体的体积是 $36\pi，$球体的表面积是多少？

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请注意，球体的体积可以重写为 $36\pi=\frac{4}{3}\pi\乘以3^3。$然后，由于球体的体积具有半径 $R$是 $\frac{4}{3}\pi r^3，$因此，在这个问题中，球体的半径是 $r=3。$因此，其表面积为 $4\pi r^2=4\pi\乘以3^2=36\pi.\_\广场$

球体的体积增加了8倍。那么表面积同时增长了多少倍？

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观察球体的体积是否为 $\frac{4}{3}\pi r^3。$这意味着它与 $r^3，$就是 $\frac{4}{3}\pi r^3\propto r^3$. 那么球体体积的8倍增长意味着球体半径的2倍增长。那么，由于球体的表面积是 $4\pi r^2\propto r^2，$球体的表面积增大了 $2^2 = 4$时代。 $\方格$

你有一个西瓜，它的体积是 $288\text{cm}^3。$如果你把西瓜切成两半，一半西瓜的表面积是多少？（假设西瓜是一个完美的球体。）

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根据公式 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$对于具有半径的球体的体积 $R$你知道西瓜的半径是 $r=6\text{cm}。$因为你把西瓜切成两半，你可能会认为半个西瓜的表面积也是整个西瓜表面积的一半。然而，这种想法是错误的。

如上图所示，半个西瓜的表面积比整个西瓜的表面积的一半大，其横截面的面积 $A.$因此，半个西瓜的表面积是 $\text{（西瓜的一半表面积）}+\text{（西瓜的面积）}。$自从 $A.$是一个半径与西瓜半径相同的圆，我们的答案是 $\分形{1}{2}\times 4\pi\times 6^2+\pi\times 6^2=108\pi_\广场$