和积三角恒等式

这个和积三角恒等式类似于三角恒等式和积.

正弦和余弦的基本和积恒等式如下：

$\开始{aligned}\sinx+\siny&=2\sin\left（\frac{x+y}{2}\right）\cos\left（\frac{x-y}{2}\right）\\\cos x+\cos y&=2\cos\left（\frac{x+y}{2}\right）\cos\left（\frac{x-y}{2}\right）。\end{aligned}$

从这些身份，我们还可以推断出产品身份的差异：

$\开始{aligned}\sin x-\sin y&=2\cos\left（\frac{x+y}{2}\right）\sin\left（\frac{x-y}{2}\right）\\\cos x-\cos y&=-2\sin\left（\frac{x+y}{2}\right）\sin left（\frac{x-y}{2}\right）\\&=2\sin left（\frac{x+y}\right）{$

和乘积恒等式的切线和和差：

$\开始{aligned}\tan（x）+\tan（y）&=\tan（x+y）\big（1-\tan（x）\tan（y）\big）\\\tan（x）-\tan（y）&=\tan（x-y）\big（1+\tan（x）\tan（y）\big）。\end{aligned}$

正弦的基本和积标识的证明如下：

$\中文\左（{\分形{{{\α+\beta}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{对齐}}}}}}}}}}}}2\sin\2\sin \左（{{\\\分形{{{{{\α-\α-\bet}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}2\门门门门门门门门门门门门门门门门门门门门门门门门门门缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸\ \ \....}2\右）\\&=\sin\alpha+\sin\beta.\end{aligned}$

余弦和切线的证明是相似的。 $_\方格$

简化

$\dfrac{\cos3x-\cos x}{\cos3x+\cos x}。$

---

我们有

$\{{{3}}{{3}}{{{3}}{{3}{3}}{{3}{3}{3}{{3}{{3}{{3}}{{3}}}}{{3}}}{{3}{{3}{3}{\COCOCOCOS}{{COCOCOCOCOS}{2\COCOCOCOCOCOCOS}}}}}{2\学校学校学校学校学校开始开始开始开始开始开始开始开始开始的\3}{{{{{{{{{{{{{{{3}}}}}}}}}}}}{{{{{{{3}}}}}}}}}}}}}\缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸}}}}}}}}}}}}}}}\\缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸\tan2x\tan x.\\ux\square\end{aligned}$

三角形 $\三角形ABC$，证明

$\sina+\sinb+\sinc=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}。$

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我们有

$\开始{对齐}\罪+ \ B +的罪罪罪\ C & = 2 \ \离开(\压裂{A + B}{2} \) \因为\离开(\压裂{A - B}{2} \右)+ 2 \罪\压裂{C}{2} \因为\压裂{C}{2} \ \ & = 2 \因为\压裂{C}{2} \因为\离开(\压裂{A - B}{2} \右)+ 2 \罪\压裂{C}{2} \因为\压裂{C}{2} \ \ & = 2 \因为\压裂{C}{2} \离开(\因为\ \压裂{一}{2}- \压裂{B}{2} \大)+罪\ \压裂{C} {2} \) \ \ & =2 \因为\压裂{C}{2} \离开(\因为\ \压裂{一}{2}- \压裂{B}{2} \大)+ \因为\大(\ \压裂压裂{一}{2}+ {B}{2} \大)\)\ \ & = 2 \因为\压裂{C}{2} \离开(2 \因为\压裂{一}{2}\因为\压裂{B}{2} \) \ \ & = 4 \因为\压裂{一}{2}\因为\压裂{B}{2} \因为\压裂C{}{2}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

查找域中的所有解决方案 $[-2\pi，2\pi]$按等式

$\cos（4x）+\cos（2x）=0。$

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我们有

$\开始{aligned}\cos（4x）+\cos（2x）&=0\\2\cos\left（\frac{4x+2x}{2}\right）\cos\left（\frac{4x-2x}{2}\right）&=0\\\ cos（3x）\cos（x）&=0.\\\结束{对齐}$

对于 $\cos（3x）=0，~x=\frac{4n\pi\pm\pi}{6}意味着x=-\frac{5\pi}{6}，~-\frac{\pi}{6}，~\frac{\pi}{6}，~\frac{5\pi}{6}。$
对于 $\cos（x）=0，~x=2n\pi\pm\frac{\pi}{2}意味着x=-\frac{3\pi}{2}，~-\frac{\pi}{2}，~\frac{\pi}{2}，~\frac{3\pi}{2}。$

因此，解决方案是 $x=-\frac{3\pi}{2}、~-\frac{5\pi}{6}、~-\frac{\pi}{2}、~-\frac{\pi}{6}、~\frac{\pi}{6}、~\frac{\pi}{2}、~\frac{5\pi}{6}、~\frac{3\pi}2}$. $_\方格$

写 $\sin（x）+\sin（2x）+\sin（3x）+\sin（4x）$作为三角函数的乘积。

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我们有

$\本月开始{{对准开始{{{{准准准开始{{{{准准准开始}{{{{准准准开始{{{准准准准开始}{{{{准准准开始}{{{{{{准准开始}}\ sin（x）x{{10 10 10月x）+\\\\sin（x）+\\3月（x学校学校学校学校学校（x）10{{{{{{{{{{{10 10月（4x（4x）+\sin（4x）现现现（x）+\10 10 10\大\大学校学校学校（x）或或或大\大\ \大\ \ \大\邦邦邦邦邦邦邦[[[10}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{准准准准准准准准准准准准准准准准准准准准准准准开始开始开始开始开始开始开始开始（\frac{5x}{2}\right）\cos\left（\frac{3x}{2}\right）+2\sin\left（\frac{5x}{2}\right）\cos\left3.3\0 0 0{{3}{{{3}{{{3}{{3}{{2}}{2}\2}\右\左（\cos\cos\大（\cos\学校{{{3}{{{3}{{{3}{{2}{{2}{{2}{{2}{2}\3}\3}\3}\3}\3\3}\3}\3}\3\3}\3\3\3}\3\3\3\3}\3\3\3\3\3\3\3\3\3\3\3\3\3\3\3}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{2}{{{{{{{{{{3}{{{{{{{{2}}}}}frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}\right）\right\&=2\sin\left（\frac{5x}{2}\right）\left（2\cos（x）\cos\Big（\frac{x}{2}\Big）\右）\\&=4\sin\left（\frac{5x}{2}\right）\cos（x）\cos\left（\frac{x}{2}\right）。\\ux\square\end{aligned}$