斯图尔特的定理

在几何,斯图尔特的定理推导出三角形边长与边长之间的关系。这可以从余弦定理和著名的人一样勾股定理．它的名字是为了纪念苏格兰数学家马修·斯图尔特，他在1746年发表了这个定理，当时他被认为是取代科林·麦克劳林成为爱丁堡大学数学教授的候选人。

在 $三角形ABC \$,点 $D$是一点 $公元前$和 $AB=c AC=b BD=u DC=v AD=t。$斯图尔特定理表明，在这个三角形中，下列方程成立:

$t ^ 2 = \压裂{b ^ 2 u + c ^ 2 v} {u + v}紫外线。$

根据余弦定理 $b \开始{对齐}^ 2 & = v ^ 2 + t ^ 2-2vt \ cosθ\ & \ qquad (1) \ \ c ^ 2 & = u ^ 2 + t ^ 2 + 2 ut \因为\θ。& \ qquad结束(2)\{对齐}$现在把(1)乘以 $u$把(2)乘以 $v$消除 $\ \因为θ$： $uv^2+ut^2-2uvt\cos \ + qquad (3)\\ c^2v&=u^2v+vt^2+2uvt\cos& \ qquad结束(4)\{对齐}$采取 $(3) + (4)$给了 $\{对齐}开始b ^ 2 u + c ^ 2 v =紫外线(u + v) + t ^ 2 (u + v) \ \ \ Rightarrow t ^ 2 & = \压裂{b ^ 2 u + c ^ 2 v} {u + v}紫外线。\ \ _ \广场结束{对齐}$

斯图尔特定理有时可以写成 $b ^ 2 u v + c ^ 2 = (u + v)(紫外线+ t ^ 2)$．

下面的证明假设 $B \角$和 $C \角$都是尖锐的 $u < v$如上图所示。然后我们有 $t^2 &= h^2 +x ^2 \\ b^2 &= h^2 + (v-x)^2 \\ c^2 &= h^2 + (u+x)^2 \\ c^2 &= h^2 + (u+x)^2 \\$这意味着 $\ b开始{对齐}^ 2 u + c ^ 2 v & = h ^ 2 u + h ^ 2 v +紫外线^ 2 + u ^ 2 - 2 uvx + 2 uvx +用户体验^ 2 + vx ^ 2 \ \ & = (u + v) (h ^ 2 +紫外线+ x ^ 2) \ \ & = (u + v) (t ^ 2 +紫外线)\ \ & = \ cdot (t ^ 2 +紫外线)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

在这种情况下 $ABC \δ$是等腰线(见上图)，斯图尔特定理有一个更简化的形式: $\开始{对齐}\ cdot b (t ^ 2 +紫外线)& = ^ 2 u v + c ^ 2 \ \ & = ^ 2 u + b ^ 2 v b \ \ & = ^ 2 (u + v) \ \ & = ab ^ 2 \ \ \ Rightarrow b ^ 2 & = t ^ 2 +紫外线。结束\{对齐}$这个定理在计算标准的cevian的长度，如中值，角等分线等是非常有用的。