根

的平方根的数量 $一个$是这个问题的答案， $“\，$什么非负数，当平方 $（$升到2 $^ \文本{和}$权力 $)，$结果 $一种？”$平方根的符号是 $“\，\ sqrt {\ \}”$．数字的平方根 $一个$被编写为 $\ sqrt {a}。$

平方根运算不仅适用于完全平方。平方根运算也可以应用于任何非负实数(这个域稍后将扩展到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/square-roots/" class="wiki_link" title="负的实数＂target="_blank">负的实数和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/square-roots/" class="wiki_link" title="复数＂target="_blank">复数）．

当对一个非完全平方的正整数执行平方根运算时，结果是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/irrational-numbers/" class="wiki_link" title="无理数＂target="_blank">无理数．计算器常被用来求这样一个结果的十进制近似值。然而，不需要计算器也能得到一个像样的近似。首先，它将探索如何找到一个平方根的整数边界。

哪个连续整数是 $\ sqrt {56}$之间?

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回答

首先，请注意 $56$不是完全平方。这意味着 $\ sqrt {56}$是无理数。

完全平方是什么 $56$之间?看着完美的正方形列表， $56$之间的是 $49$和 $64$．

因为 $49 < 56 < 64$，这是有道理的 $大概{49}< \ \ sqrt {56} < \ sqrt {64}$．

因此, $7 < \ sqrt {56} < 8$． $_ \广场$

当用计算器检查时，这个近似是确定的: $\ sqrt {56} \约7.483315$．<！--end-hidden -->

可以应用此过程以向任何平方根提供整数近似。为了发展更好的近似，必须考虑<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/inflection-points/" class="wiki_link" title="凹＂target="_blank">凹平方根的值<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/functions/" class="wiki_link" title="函数＂target="_blank">函数．

为了更好地逼近平方根，考虑这个数字更接近哪个完全平方。

近似 $\ sqrt {6}$到小数点后一位。

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回答

请注意, $6$不是完全平方。通过考虑完全平方来找到整数边界 $6$之间。

$6$之间的是 $4$和 $9$．因此, $2 < \√{6}< 3$．

现在考虑哪个完全平方6更接近: $4$或 $9$． $6$在两者之间 $4$和 $9$，但它略近 $4$．

自 $6$是介于两者之间 $4$和 $9$，这是有道理的 $\ sqrt {6}$是介于两者之间 $2$和 $3.$． $2．5$是一个很好的猜测。

你可以用平方来检验你的猜测 $2．5$．结果应该接近 $6$．乘以手, $2.5 \ * 2.5 = 6.25$．这看起来很接近，但这是小数点后一位的最佳近似值吗?

$2．5$似乎是一个高猜测(因为 $6.25 > 6$，所以另一个合理的猜测是 $2．4$．再一次，平方这个数，然后比较结果 $6$．乘以手, $2.4 \ * 2.4 = 5.76$．注意，这是一个较低的猜测，所以没有更好的小数点近似值 $\ sqrt {6}$比 $2．4$和 $2．5$．

哪种近似比较好?请注意, $2.4 ^ 2 = 5.76$小于 $6$通过 $0．24$, $2.5 ^ 2 = 6.25$大于 $6$通过 $０．２５$．更接近的平方结果来自于 $2．4$近似。因此, $2．4$最好的小数点近似值是多少 $\ sqrt {6}$．

这个近似是用计算器确定的: $\ sqrt {6} \约2.449490$． $_ \广场$

下面是平方根函数的图， $f (x) = \ sqrt {x}$：

给出了具有整数坐标的点。这些点代表 $x$-是完全平方的值。注意，当函数在正方向上移动得越远，点之间的距离就越远 $x$方向。

仔细看看，更清楚正在发生的事情：

在上面的图中，红色虚线段连接完美正方形点。注意，平方根函数总是更高的而不是这些直线段。这意味着一个平方根的值会比任何线性逼近的值都要高。

近似 $\ sqrt {2.5}$到小数点后一位。

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回答

$2．5$是完全完全平方的中间 $1$和 $4$．使用线性思维，它将经得起推理，最好的近似 $\ sqrt {2.5}$将完全中间 $1$和 $2$．想成为 $1.5$．

乘以手, $1.5 \ * 1.5 = 2.25$．猜测很低，确实如此 $０．２５$的值 $2．5$．

召回实际的平方根趋于大于线性近似。现在试试猜测 $1．6$．

乘以手, $1.6 \ * 1.6 = 2.56$．这个猜测很高，确实很高只有了 $0．06$．

因此，最好的小数点近似值为 $\ sqrt {2.5}$是 $1．6$．最好的近似是不中间 $1$和 $2$．

计算器确认此近似值： $\ sqrt {2.5} \约1.581139$． $_ \广场$

平方根常被用来求解<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-equations/" class="wiki_link" title="二次方程式＂target="_blank">二次方程式．最简单的一类可以用平方根求解的二次方程是这样的方程 $x ^ 2 = a$．

找到解决方案 $x ^ 2 = 16。$

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回答

平方根可用于找到该等式的解决方案。这个解决方案是 $x = \ sqrt {16} = 4$．

然而，还有另一种解决方案。另一个解是 $x = - \ sqrt {16} = 4$． $_ \广场$

这种形式的方程 $x ^ 2 = a$， 在哪里 $A> 0.$，总是有两个解:一个是正的，一个是负的。

让 $一个$是一个积极的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数＂target="_blank">实数．方程的解 $x ^ 2 = a$是

$X =√{a}\quad \text{and} \quad X =-√{a}$

或者说,

$x = \ \下午sqrt{}。$

对于这些方程式，正面解决方案被称为原则平方根，而负面解决方案被称为负的平方根．

有些问题会问:“什么是正方形?根一定数量的， $一个$“通常，我们会考虑 $\ sqrt{一}$只有一个可能的结果。然而，在这种语境下，问题的意义在于寻找两个都方程的解 $x ^ 2 = a$．

一个非完全平方的正整数的平方根总是an<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/irrational-numbers/" class="wiki_link" title="无理数＂target="_blank">无理数．的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/decimals/" class="wiki_link" title="十进制表示＂target="_blank">十进制表示这样一个数字的损失<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/significant-figures-and-precision/" class="wiki_link" title="精度＂target="_blank">精度当它是四舍五入时，它是耗时的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/square-roots/" class="wiki_link" title="不用计算器进行计算＂target="_blank">不用计算器进行计算．写这样一个数字的标准方法是使用简化的激进的形式：

你可能已经注意到，这些问题或例子都没有涉及到求负数的平方根。

找出…的价值 $\ sqrt {9}$．

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回答

平方后得到的非负数是什么 $9 ?$

它不是 $3.$,因为 $3 ^ 2.$结果积极的 $9$．

即使我们允许自己用一个负数来回答，我们仍然不会得到一个好的结果。它不能被 $－３$,因为 $(3) ^ 2$积极的结果 $9$．

事实证明没有<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数＂target="_blank">实数价值 $\ sqrt {9}$．

评估 $\ sqrt {9}$要求<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/imaginary-unit/" class="wiki_link" title="虚数单位＂target="_blank">虚数单位， $我$．

因为 $我^ 2 = 1$， $(3) ^ 2 = 9$．因此, $我大概{9}\ = 3$． $_ \广场$

的虚数单位， $我$,是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复数＂target="_blank">复数满足以下等式：

$我^ 2 = 1。$

随着复杂数字的引入，可以评估任何负数的平方根：

让 $一个$是一个正数。然后,

$\ sqrt {a} =我\ sqrt{}。$

一个非负的、非完全平方的实数的平方根总是an<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/irrational-numbers/" class="wiki_link" title="无理数＂target="_blank">无理数．求这样一个平方根的十进制表示通常是在计算器的帮助下完成的。然而，有时可能会要求您手工计算某些非完全平方数的平方根。

找到39到3位小数点的平方根。

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回答

我们有

$\begin{array} {c|ccccc|c} 6 & \overline{39}。& \眉题{00}& \眉题{00}& \眉题{00}& \眉题{00}& \强调{6.2449 \ ldots} \ \ & \强调{- 36 } & & & & & \\ 122 & & 00 & & & & \\ & \ 强调{- 2}& \强调{44 } & & & & \\ 56 1244 & & & 00 & & & \\ & & \ 强调{- 49}& \强调{76 } & & & \\ 12484 & & & 24 & 00 & & \\ & & \ 强调{4}& \强调{99}& \强调{36}& & 1 & & 24 & & 64 & & 00 & & & & & underline{1} & & & underline{12} & & & underline{40} & & & underline{01} & & & & & & 12 & & 23 & & 99 & & \\ end{array}$

因此，39到小数点后3位的平方根是6.245。 $_ \广场$

用计算器检查一下，你会发现答案是正确的。但这是怎么回事呢?方法是什么?看起来就像一堆随机数。嗯，这种方法类似于长除法，除了你在减法后减少了两位而不是一。方法如下:

1. 为 $n$小数点后,写 $2 n + 2$小数点后的数字，除 $n + 1$数字对(空数字被认为是0，如上所示)。对于小数点左边的数字，从最右边到左边的数字配对。最后一对数字将是1或2位。

   数字

   如果只有1位，那么这个数字就是它自己。如果是两位数字，则可以配对。<！--end-hidden -->

   我们现在在小数点右侧绘制2列。该列将被称为股息列;左侧的一个将是除数，而且正确的一个是商的一个区域。

2. 现在，从最左边的一对数字，或一对数字，找出其平方小于这个1或2位数的最大正整数。在上面的例子中，满足这个的最大整数是6，因为 $6 ^ 2 <39 <7 ^ 2$．所以，我们把6放在除数列，把6放在商列。

3. 我们从第一对数字中减去了这个数字的平方，然后掉下一对向下。在上面的例子中，我们减去了 $39-36$得到 $3.$,然后下降 $00$从列的顶端得到 $300$．

4. 我们把除数和它自身相加，然后把它向左平移。现在我们要找一个整数 $一个$这样 $\overline{ka} \times a < \text{New dividend} < \overline{k(a+1)} \times {a+1}$， 在哪里 $k$指旧除数自身加和后得到的数 $abc \眉题{}$指的是连接数字 $一个$， $b$和 $c$．一旦我们找到 $一个$，我们把它写在合适的位置，把它作为商的下一个数。例:上面，我们有 $\ overline {12a} \ times a = 300$,所以 $a = 2$自 $122 \ times 2 <300 <123 \ times 3$．
   现在，我们得到了根号的第一位。现在，我们把第一个除数和第一个数字相加。然后我们要找到一个数字 $一个$这样 ${ka} × a \leq$现在剩下的部分 $k$是第二个股息。例如，在上面的示例中，第一步如下： $\begin{array} {c|ccccc|c} \color{#3D99F6}{6} & \overline{39}。& \眉题{00}& \眉题{00}& \眉题{00}& \眉题{00}& \强调{\颜色{# 3 d99f6}{6}} \ \ & \强调{- 36 } & & & & &\\ & 3 & 00 & & & & \ 最终数组{}$现在，我们加上蓝色的6得到 ${\颜色# 69047 e} {12}$．
   然后我们必须找到一个适合框中的数字 $12\box {\phantom{0}} × \box {\phantom{0}} \leq 300$．
   我们可以看到, $12\color{#20A900}{2} × \color{#20A900}{2} = 244 < 300$和 $12\color{#EC7300}{3} × \color{#EC7300}{3} = 369 > 300$．
   所以,我们把 $2$在方框中，即。 $一个= 2$．
   所以，我们终于 $\begin{array} {c|ccccc|c} 6 & \overline{39}。& \上划线{00}& \上划线{00}& \上划线{00}& \上划线{00}& \下划线{6。{# EC7300}{2}} \颜色\ \ & \强调{- 36 } & & & & & \\ \ 颜色# 69047 e {} {12} {# D61F06}{2} \颜色& 3 & 00 & & & & \\ & \ 强调{- 2}& \强调{44 } & & & & \\ & & 56 & & & & & \ 最终数组{}$

5. 我们找到了 $\眉题{ka} \乘以一个$，然后从新股息中减去这个，然后把下一对减下来。例:上面，我们有 $300 - 244 = 56$，所以下一个新的股息成为 $5600$．

6. 添加数量 $一个$来 $\眉题{ka}$，再次向左转移到左侧。重复步骤4-6，直到所有对都耗尽。您现在手动确定平方根。

虽然上面给出的方法很好，但如果需要许多小数点，那么它也会有点冗长。当重要数字的数量优先时，我们需要一个更好的算法。

提出了巴比伦的计算方法 $大概{x = \ \α}$：

1. 选择一个数字 $从$这样 $从> \ sqrt{\α}$．

2. 定义一个序列 $\left \{x_n \right \}_{n=0}^{inty}$由以下公式递归构建： $间{n + 1} = \压裂{1}{2}\离开(x_n + \压裂{\α}{x_n} \右)。$

3. $\displaystyle \sqrt{\alpha} = \lim_{n \to \infty} x_n$．

Python实现:

1 2 3 4 5 6

def√6（x)：每股收益＝战俘（10，-10）答＝x而腹肌（答＊答-x）>每股收益：答＝1/2．0＊（答+x/答）返回答

行动守则:

1 2 3 4 5 6 7

20.0000000000000000000000000000000000 10.97499999999644728632119950 7.264265375854213502293532656040 6.316505985303646042439140728675 6.245402762693970544205512851477 6.244998011514777402908293879591 6.244997998398398308950163482223

与实际值进行比较 $\ sqrt{39} = 6.2449979983983982058468…$；该算法只需要7次迭代，就会返回一个最多16个有效数字都是正确的数字。

我们可以得到的近似值 $大概{\ \α}$来8到16个重要数字在3到4次迭代中 $从$适当。

这是由下列不等式得到的结果，其证明如下:

如果 $\varepsilon_n = x_n - \sqrt{\alpha}$和 $大概{\β= 2 \ \α}$,然后

$0 < \压裂{\ varepsilon_n}{\β}< \离开(\压裂{\ varepsilon_0}{β\}\右)^ {2 ^ n} \四n = 1, 2 \ ldots。$

所以,如果 $\ varepsilon_0 <\ beta$ $\大($prefrerably $< \ \ varepsilon_0压裂{\β}{10}\大)$，然后误差迅速减小。通常，这样做，服用 $从左= \ \ lceil \ sqrt{α\}\ \ rceil$是充分的。在这里 $\ lceil \ cdot \ rceil$表示<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ceiling-function/" class="wiki_link" title="天花板功能＂target="_blank">天花板功能．

我们有 $x_ {n +1} = \ frac {1} {2} \ left（x_n + \ frac {\ alpha} {x_n} \右）。$我们第一次显示 $间大概{\α}{n} > \$对于任何 $n \ \ mathbb {n}$．

通过AM-GM不等式， $间{n} > \压裂{1}{2}\离开(2 \√{间{n - 1} \ cdot \压裂{\α}{间{n - 1}}} \右)= \ sqrt{\α}。$我们不能平等 $从> \ sqrt{\α}$．
从这里，很容易看到如果 $x_0 = \ sqrt{\α},$然后 $x_n$对所有整数都相等吗 $n$．

现在， $\ begin {对齐} x_ {n + 1} - \ sqrt {\ alpha}＆= \ frac {1} {2}左（x_n + \ frac {\ alpha} {x_n} - 2 \ sqrt {\ alpha}\右）\\＆= \ frac {1} {2} \ left（\ sqrt {x_n} - \ sqrt {x_n} - \ sqrt {\ frac {\ alpha} {x_n}}右）^ {2} \\＆= \ frac{\ left（x_n - \ sqrt {\ alpha}右）^ {2}} {2 x_n}。结束\{对齐}$所以, $\压裂{\ varepsilon_ {n + 1}}{\β}= \压裂{\离开(x_n \ sqrt{α\}\右)^ {2}}{4 x_n \ sqrt{\α}}< \压裂{\离开(x_n \ sqrt{α\}\右)^{2}}{4 \α}= \离开(\压裂{\ varepsilon_ {n}}{β\}\右)^ 2,$通过归纳，很容易看出 $\压裂{\ varepsilon_ {n}}{\β}< \离开(\压裂{\ varepsilon_{0}}{β\}\右)^ {2 ^ n}$为 $n> 0.$．

请注意, $\ varepsilon_n > 0$作为 $间大概{\α}{n} > \$,然后 $\ dfrac {\ varepsilon_n}{\β}> 0。$

这完成了证明。 $_ \广场$

下面的例子说明了这种方法:

计算 $\ sqrt {39}$正确的六位小数。

---

回答

让我们以 $从= 7$．

我们来算一下 $\ dfrac {\ varepsilon_0}{\β}$： ${对齐}\ \开始压裂{\ varepsilon_0}{\β}& = \压裂{7 - \ sqrt{39}}{2 \√{39 }} \\ &< \ 压裂{1}{2 \√{39 }} \\ &< \ 压裂{1}{12}\ \ \意味着0 & < \压裂{\ varepsilon_0}{\β}< \压裂{1}{10}。结束\{对齐}$

因此，我们只需要计算三次迭代。这是因为下面的不等式 $（$注意 $β\ < 14)$：

$盒装{0 <\ varepsilon_3 <14 \ times 10 ^ { - 8} <10 ^ { - 6}}。$

迭代,得到 $\begin{aligned} x_1 &= 6.28571428\ldots \ x_2 &= 6.24512987\ldots \ x_3 &= 6.24499799\ldots。结束\{对齐}$

因此 $\ sqrt {39}$，正确到六个小数，是6.244998。 $_ \广场$

注意:

• 请注意，两次迭代后，我们得到了价值 $\ sqrt {39}$正确到三个小数，而在前一个方法中需要三个迭代。
• 这个方法只需要3次迭代，而之前的方法需要6次迭代。<！--end-hidden -->

计算 $\ sqrt {3}$正确的三十个小数点。

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回答

让我们以 $从= 2$．

让我们计算 $\ dfrac {\ varepsilon_0}{\β}$： ${对齐}\ \开始压裂{\ varepsilon_0}{\β}& = \压裂{2 - \ sqrt3} {2 \ sqrt3} \ \ & = \压裂{1}{2 \ sqrt3 (2 + \ sqrt3 )} \\ &= \ 压裂{1}{2 (2 \ sqrt3 + 3 )} \\ &< \ 压裂{1}{2(5)}\ \ \意味着0 & < \压裂{\ varepsilon_0}{\β}< \压裂{1}{10}。结束\{对齐}$

这意味着 ${0< \varepsilon_5 < 4 \times 10^{-32}}$自 $\ beta <4。$

因此我们需要计算5迭代得到 $\ sqrt3.$正确的三十个小数！

通过迭代，我们得到(这里只显示了10位)

$\sqrt3 \近似x_5 = 1.7320508075\ldots。\ _ \广场$

注意:对于20次迭代，值 $\ sqrt3.$来超过一百万位数众所周知!<！--end-hidden -->

有关近似平方根的更多细节，请参阅<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/approximation-of-square-roots/">在这里．

复杂数量的平方根有点含糊。非真实复数既不是积极也不是负面的，所以它没有明确定义哪个平方根是主要平方根。因此，当在复数号上使用平方根操作时，结果被解释为所有方程的解:

让 $z$是复数。然后最多有两个值 $\ sqrt {z}$，它们等于方程的解

$x ^ 2 = z。$

请注意，当对复数使用平方根运算时，并没有定义为只有一个结果。

找到平方根 $我$用一般方法。

---

假设 $\ sqrt{我}= a + ib$．然后, $i = (a + ib) ^ {2} = ^ {2} - b ^ {2} + 2 abi$．

方程的实部和虚部的等价得到

$\ begin {array} {c} a ^ {2} -b ^ {2} = 0＆\ text {and}＆2ab = 1 \ end {array}。$

解这个方程组得到

$c \开始{数组}{}= b = \压裂{1}{\ sqrt{2}}{或}& & \文本a = b = - \压裂{1}{\ sqrt{2}} \{数组}结束。$

因此, $c \开始数组{}{}\ sqrt{我}= \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} + \ dfrac{我}{\ sqrt{2}}{或}& & \文本\ sqrt{我}= - \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} - \ dfrac{我}{\ sqrt{2}}。\ \ _ \广场结束数组{}$

一般来说，对于复数 $z = a + ib$这样 $a, b \ \ mathbb {R}$，

$大概{z} = \ \ \下午离开[\√6{\压裂{\ sqrt {b ^ ^ 2 + 2} +} {2}} + i \√6{\压裂{\ sqrt {b ^ ^ 2 + 2}——}{2}}\右]。$

另一种方法,使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-formula/" class="wiki_link" title="欧拉公式＂target="_blank">欧拉公式，表示复数 $z$在表单中 $z =再保险^{我\θ},$在哪里 $r = | |$和 $在[0,2 \pi)$．这里有一个例子:

求的平方根 $我$使用欧拉公式。

---

让 $z =我$这 $z r = | | = | | = 1$．自 $e ^ {i \ pi / 2} = \ cos \ frac {\ pi} {2} + i \ sin \ frac {\ pi} {2} = i$,我们有 $\ theta = \ frac {\ pi} {2}。$

现在，

$\ sqrt {z} = \ pm \ sqrt {r} e ^ {i \ theta / 2}。$

因此,与 $z =我$,我们得到 $下午大概{我}= \ \ displaystyle \ e ^{\π/ 4}= \ \下午离开(\压裂{1}{\ sqrt{2}} + \压裂{我}{\ sqrt{2}} \右),$和之前的答案一样，但是计算起来快多了。 $_ \广场$

任何复杂的数 $z = a + bi$可以写在<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/polar-coordinates/">极坐标形式作为

$Z = r(cos + isin)$

在哪里 $r = \ sqrt {b ^ ^ 2 + 2}$和 $\θ= \反正切{\压裂{b}{一}}$．考虑平方根，将其幂提高到一半并应用<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/de-moivres-theorem/">De Moivre定理：

$\{对齐}开始z ^ \压裂{1}{2}& = r ^ \ \点压裂{1}{2}(罪\ cosθ+ i \ \ \θ)^ \压裂{1}{2}\ \ \ sqrt {z} & = \ \ sqrt {r} \下午离开(\因为{\压裂{\θ}{2}}+ i \罪{{\压裂{\θ}{2}}}\右)。结束\{对齐}$

找到 $一个$， 在哪里 $$

$a = \ dfrac {1} {\ sqrt {1} + \ sqrt {2}} + \ dfrac {1} {\ sqrt {2} + \ sqrt {3}} + \ dfrac {1} {\ sqrt {3} + \ sqrt {4}} + \ cdots + \ dfrac {1} {\ sqrt {99} + \ sqrt {100}}。$

---

回答

类似于前面的问题，乘以共轭:

$\开始{对齐}= & \ dfrac {1} {\ sqrt {1} + \ sqrt{2}} \ * \压裂{- \ sqrt {1} + \ sqrt {2}} {- \ sqrt {1} + \ sqrt {2}} + \ dfrac {1} {\ sqrt {2} + \ sqrt{3}} \ * \压裂{- \ sqrt {2} + \ sqrt {3}} {- \ sqrt{2} + \√6 {3 }} \\\\&+ \ dfrac {1} {\ sqrt大概{4}}{3}+ \ \ * \压裂{- \ sqrt {3} + \ sqrt {4}} {- \ sqrt {3} + \ sqrt {4}} + \ cdots + \ dfrac {1} {\ sqrt大概{100}{99}+ \}\ *\压裂{- \ sqrt {99} + \ sqrt {100}} {- \ sqrt{99} + \√6 {100 }}\\\\ =&\ 压裂{- \ sqrt {1} + \ sqrt{2}}{1} + \压裂{- \ sqrt {2} + \ sqrt{3}}{1} + \压裂{- \ sqrt {3} + \ sqrt {4}} {1} + \ cdots + \压裂{- \ sqrt {99} + \ sqrt {100}} {1 }\\\\ =& - \ √6 {1}+ \ sqrt {2} - \ sqrt大概{3}- {2}+ \ \ sqrt {3} + \ sqrt {4} - \ cdots \ sqrt {99} + \ sqrt {100 }\\\\ =& -\ √6 {1}+ \ sqrt {100} \ \ \ \ \ \ \ \ = &-1 + 10=和9。\ \ _ \广场结束{对齐}$