绝对值方程
绝对值方程方程中是否含有<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/absolute-value/" class="wiki_link" title="绝对值的函数" target="_blank">绝对值的函数.本wiki旨在演示和讨论解决问题的技巧,让我们解决这样的方程。
一个非常基本的例子如下:
的所有值 令人满意的
通常,基本的方法是分析函数在达到0点之前和之后的行为。例如,对于 我们可以分析案例 或 ,甚至 如果需要。然而,这些问题通常可以通过一种更复杂的方法来简化,例如能够消除某些情况,或者绘制函数图。在本wiki中,我们将讨论这些技巧以及何时使用哪些技巧的策略。
方法
绝对值方程导论
解绝对值方程的方法:解绝对值方程所使用的技术,以及何时使用哪一个
举个例子来描述以下方法:
1)理解绝对值——正、负(或图法)
2)确定可能的解决方案
3)验证解决方案
技巧——两边平方
解释-我们如何使用这种技术来解决绝对值方程?
记住要验证可能的解决方案——为什么以及如何解决?
2-3个例子,以难度递增的顺序,解释我们如何用两边的平方来解决更困难的问题
其次是1-2个TIY问题-相关的要解决的案例工作技术
假设我们有这样一个方程 .由于两边都是正的,我们可以不添加额外的解来平方它们: 然后将其解为普通方程: 我们可以看到 或 .
解方程 真实的 .
我们两边取平方就得到 这里我们不需要两边都扩展;只要用两个平方的差来求因子: 解决方案是
技术——生活环境调查
因为绝对值可以定义为分段函数,这取决于 是关于数轴的,你必须对分段函数的不同部分进行处理。
一般的步骤:
使用绝对值的定义作为分段函数,“撤销”绝对值符号并写入大小写。例如,我们知道绝对值符号中的表达式可以是正的,也可以是负的。
解决每个案件 .
验证的解决方案。
求所有的实值 这样
我们首先将绝对值分离到一边:
现在,我们“撤销”绝对值符号,并将方程分成两种情况,正数和负数:
求所有的实值 这样 .
有四种可能的情况,但有一种因为不可能而被排除:
案例1。如果 和 都是正面的吗
例2。如果 是负的, 是积极的,那么 然而,当 , 和 都是正的,所以这不是方程的有效解。
例3。如果 和 都是负的吗
例4。如果 是积极的, 是否定的,这是不可能的情况。如果你不相信,画出这两条线。
因此,解集为
求所有的实值 这样
在这个问题中,我们要处理3项绝对值。他们的转折点(价值 这样他们改变符号)的三项是 分别。因此,我们需要检查案例 , , , .
案例1。
在这种情况下,这三项总是负的。因此, 然而, 不在域内 .因此这个解是无效的。例2。
在这种情况下,这三项分别是负数、正数和负数。因此, 隔 和 .因此 是解决方案之一。例3。
在这种情况下,这三项分别是正数、正数和负数。然而, 因此,在这个领域中没有解决方案。例4。
在这种情况下,这三项总是正的。因此, 位于之间的 和 .因此 是另一个解决方案。总之, 和 是给定方程的解。
求所有的实值 这样 .
案例1。 两个正面
拒绝 因为它不可能两者都有 和 积极的。例2。 负的, 积极的
我们只要求实解,所以此时我们忽略这种情况因为我们会得到虚数结果。例3。 积极的, 负
这是一种不可能的情况(画出直线,你会看到为什么),所以我们可以忽略它。例4。 两个负
因为它们都是负的,负的部分相互抵消,变成正数,这是情形一的情况。但是,限制不同于Case 1(这里是两者) 和 必须是负的,而不是正的),所以不是拒绝 ,我们拒绝 从这个案例。基本上,在这个特定的例子中, 不是一个可能的解,但这并不意味着它不是情况1的一个可能解因为我们只是在这个分段函数中一点一点地做最后我们会取所有可能解的并集。因此,解决方案是 .
技术-草图图
有时候绝对值方程的情况多得离谱每一种情况都要花很长时间。因此,我们可以用绝对值作为分段函数的定义来代替绝对值方程。为了得到每一块,你必须算出每一块的定义域。当问题作者询问答案的数量而不是实际的答案时,这种方法非常有用。让我们通过一些例子来看看这是如何实现的。
求所有的实解 .
有两种可能的情况:当 是肯定的,什么时候 是负的。
是什么时候 积极的吗? (另外,当 , 将负面的。)
我们知道,将有一个“转折点”在 对于图 .
最后,利用绝对值的定义,我们知道 , ,当 , .我们现在只需要画出来 寻找交叉点。
你可以看到解决方案是 .
这种绘图技术的另一个好处是,你不需要验证任何解——因为我们只绘制了在数学上可行的部分,我们就得到了我们想要的所有解,不多也不少。如果你不能从图中看出解,你可以简单地解出每一种情况下的方程。
求所有的实解 .
可能的情况是
1. 都是积极的;
2. 是负的, 是正的;
3. 都是负面的。
我们需要找出它们各自适用的域。案例1拥有时 .
案例2拥有时 .
案例3拥有时 .现在,让我们写出分段函数。
当 ,我们有 .
当 ,我们有 .
当 ,我们有 .
从图中可以看出,给定方程的解是 .
求所有的实解 .
为了画出这幅图,我们再次只看可能发生的情况和它们发生的时间:
1. 两个正面
2. 负的, 积极的
3. 两个负数。案例1是真的当 .
案例2是真的当 .
案例3是真的当 .当 当 ,我们有 .
当 ,我们有 .
很明显,解决办法是
解决问题-杂项
还有其他的技术(事实,定义)可以用来解决问题吗?否则继续下面的内容。
3-4个例子通过使用以上技术的混合解决
在中间添加指导文字。指导性文本的意思是用一种措辞来告诉读者这一节发生了什么。
3-4 TIY问题-使用多种技术来解决
所有实数的和是多少 令人满意的
观察到 那么给定的方程就变成
如果 然后我们重写方程得到
如果 然后我们重写方程得到 哪些不满足假设 因此在这个区间内没有解。
如果 然后我们重写方程得到
因此,以上三个案例给出了两种解决方案 和 它的和是
[IMO 1959/2]解方程 真实的 (其中平方根只定义为非负值),当
- ;
- ;
- .
这里我们没有看到任何绝对值涉及到这个方程。在做任何事情之前,请注意我们的第一个限制 是 和 是 .直观上,我们可以对两边平方来消去一些平方根: 太棒了!我们在平方根内找到一个完全平方,因此绝对值会出现: 现在我们要找出可能的情况 :
当 ,我们有 那么,根据我们的假设 ,我们得到这个解只有在 .
当 ,有趣的事情发生了:
所以,当 ,方程变得无关 ,表示区间的任意值 可以解决第一个问题。
当 ,没有解决方案,由我们的限制 .
最后,当 我们有
如果我们允许平方根为负值会发生什么?
有时,在最小化问题中,它常常帮助我们看到绝对值内的表达式的值至少是0。