跳跃表gydF4y2Ba

跳跃列表是agydF4y2Ba概率数据结构gydF4y2Ba这是建立在gydF4y2Ba链表gydF4y2Ba．跳跃表利用概率在原始链表上构建后续的链表层。每个额外的链接层包含更少的元素，但没有新元素。gydF4y2Ba

你可以把跳跃表想象成地铁系统。每一站都有一列火车停。不过，也有特快列车。这趟列车不会停靠任何独特的站点，但会停靠更少的站点。如果你知道它停在哪里，这就使特快列车成为一个有吸引力的选择。gydF4y2Ba

当您需要并发访问数据结构时，跳过列表非常有用。想象一个gydF4y2Ba红黑树gydF4y2Ba的实现gydF4y2Ba二叉搜索树gydF4y2Ba．如果您在红黑树中插入一个新节点，您可能需要重新平衡整个东西，在此过程中您将无法访问数据。在跳过列表中，如果必须插入一个新节点，那么只有相邻的节点会受到影响，因此在此期间您仍然可以访问大部分数据。gydF4y2Ba

跳跃列表从一个基本的、有序的链表开始。这个列表是排序的，但是我们不能对它进行二分查找因为它是一个链表，我们不能在它里面建立索引。不过，这个订单以后会派上用场的。gydF4y2Ba

然后，在底部列表的顶部添加另一个层。这个新层将有可能包含前一层中的任何给定元素gydF4y2Ba $p。gydF4y2Ba$这种可能性可能有所不同，但通常都是这样gydF4y2Ba $\ frac12gydF4y2Ba$使用。此外，链表中的第一个节点通常被保留，作为新层的头。看看下面的图表，看看一些元素是如何被保留而另一些元素被丢弃的。在这里，刚好有一半的元素被保留在每个新层中，但也可能多或少——这都是概率。在所有情况下，每个新层仍然是有序的。gydF4y2Ba

跳过列表的示例实现gydF4y2Ba^[1]gydF4y2Ba

跳跃列表gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$具有在其分析中引用的一些重要属性。它的高度是gydF4y2Ba $hgydF4y2Ba$也就是链表的个数。它有许多不同的元素，gydF4y2Ba $n。gydF4y2Ba$它有一个概率gydF4y2Ba $p,gydF4y2Ba$这通常是gydF4y2Ba $\ frac12。gydF4y2Ba$

最高的元素(出现在最多列表中的元素)将出现在gydF4y2Ba $p \ log_ \压裂{1}{}(n)gydF4y2Ba$平均来说，我们会证明这个gydF4y2Ba晚些时候gydF4y2Ba．如果我们用gydF4y2Ba $P = \frac12gydF4y2Ba$，有gydF4y2Ba $\ log_2 (n)gydF4y2Ba$列表。这是的平均值gydF4y2Ba $hgydF4y2Ba$．“链表中的每个元素都在它下面的链表中”的另一种说法是“level中的每个元素gydF4y2Ba $S_ {i + 1}gydF4y2Ba$存在于水平gydF4y2Ba $S_i。gydF4y2Ba$＂gydF4y2Ba

跳跃列表中的每个元素都有四个指针。它指向其左、右、上、下的节点。这些gydF4y2Baquad-nodesgydF4y2Ba将允许我们有效地搜索跳过列表。gydF4y2Ba

时间gydF4y2Ba

跳跃表的复杂性由于其概率性质而变得复杂。我们将证明它的时间复杂度gydF4y2Ba下面gydF4y2Ba，但现在我们只看结果。但是要注意的是，这些边界是gydF4y2Ba预期gydF4y2Ba或gydF4y2Ba平均情况gydF4y2Ba范围之内。这是因为我们在这个数据结构中使用了随机化:gydF4y2Ba

$c \开始{数组}{}& & \文本插入- O}{\大(\ log (n) \大),& \文本- O}{删除\大(\ log (n) \大),文本\ \ & \{索引- O} \大(\ log (n) \大),& \文本搜索- O{} \大(\ log (n) \大)。\{数组}结束gydF4y2Ba$

的gydF4y2Ba最坏的gydF4y2Ba下面是跳跃列表的边界，但我们不担心这些用于分析:gydF4y2Ba

$\开始{数组}{c} & & \文本{插入- O} (n), & \文本- O}{删除(n),文本\ \ & \{索引- O} (n), & \文本搜索- O} {(n) \{数组}结束gydF4y2Ba$

空间gydF4y2Ba

空间比较容易推理。假设跳跃表中的位置总数等于gydF4y2Ba

$N \sum_{i=0}^{h} \frac{1}{2^i}。gydF4y2Ba$

它等于gydF4y2Ba

$N \cdot \左(1+\frac12 +\ frac14 +\ frac18+\cdots\右)= N \cdot 2gydF4y2Ba$

因为无穷求和。因此，我们期望的空间利用率很简单gydF4y2Ba

$\begin{array}{c}&&\text{Space - O}(n)。结束\{数组}gydF4y2Ba$

这也是不具体的。很可能，我们的跳跃表可以增长得更高。然而，这是预期的空间复杂度。gydF4y2Ba

跳跃列表中有四个主要操作。gydF4y2Ba

搜索gydF4y2Ba

这个函数的输入是一个搜索键，gydF4y2Ba关键gydF4y2Ba．这个函数的输出是一个位置，gydF4y2BapgydF4y2Ba，使得这个位置的值是小于或等于的最大值gydF4y2Ba关键gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

1 2 3 4 5 6 7gydF4y2Ba

搜索(键)p = S的左上角节点while (p.below != null) do //向下扫描p = p.below while(键>= p.next) do //向前扫描p = p.next返回pgydF4y2Ba

本质上，我们是向下扫描跳过列表，然后向前扫描。gydF4y2Ba

索引gydF4y2Ba

这个功能和gydF4y2Ba搜索gydF4y2Ba，因此我们将省略该代码。gydF4y2Ba

插入gydF4y2Ba

插入的输入是agydF4y2Ba关键gydF4y2Ba．输出是最上面的位置，gydF4y2BapgydF4y2Ba，在该处插入输入。注意，我们正在使用gydF4y2Ba搜索gydF4y2Ba上面的方法。我们使用一个函数叫做gydF4y2BaCoinFlip ()gydF4y2Ba它模仿均匀硬币并返回正面或反面。最后，函数gydF4y2BainsertAfter (a, b)gydF4y2Ba简单地插入节点gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba在节点之后gydF4y2BabgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16gydF4y2Ba

Insert(key) p = Search(key) q = null i = 1 repeat i = i + 1 //新元素的塔的高度if i >= h h = h + 1 createNewLevel() //创建新的链表级别while (p.above == null) p = p.prev //向后扫描直到你可以向上p = p.above q = insertAfter(key, p) //插入我们的键后位置p直到CoinFlip() == 'Tails' n = n + 1返回qgydF4y2Ba

首先，我们总是插入gydF4y2Ba关键gydF4y2Ba放入底部列表的正确位置。然后，我们必须这么做gydF4y2Ba促进gydF4y2Ba新元素。我们通过抛一个公平的硬币来做到这一点。如果是正面，我们就推广新元素。通过抛这个公平的硬币，我们基本上决定了新元素的塔的大小。我们从我们的位置向后扫描，直到我们可以上升，然后我们上升一级，插入我们的gydF4y2Ba关键gydF4y2Ba就在我们现在的位置后面。gydF4y2Ba

当我们抛硬币时，如果正面的数量开始增长大于当前的高度，我们必须确保在跳跃列表中创建新的级别来适应这一点。这个函数的第7-9行为我们处理这个问题。gydF4y2Ba

删除gydF4y2Ba

删除利用了gydF4y2Ba搜索gydF4y2Ba操作上又比上简单gydF4y2Ba插入gydF4y2Ba操作。我们将通过更详细地编写伪代码来节省空间。gydF4y2Ba

1 2 3 4 5 6gydF4y2Ba

删除(键)搜索所有位置p_0，…，p_i where key exists if none are found return Delete all positions p_0, ..., p_i Remove all empty layers of skip list

删除可以通过多种方式实现。自从我们找到第一个gydF4y2Ba关键gydF4y2Ba，它将连接到的所有其他实例gydF4y2Ba关键gydF4y2Ba，我们可以很容易地一次性删除它们。gydF4y2Ba

之前我们说过会有gydF4y2Ba $\ log_2 (n)gydF4y2Ba$列表总数。但是为什么呢?如果每个新创建的关卡都是基于概率去完成，我们又如何能够知道这一点呢?gydF4y2Ba

的概率gydF4y2Ba $P_igydF4y2Ba$这是跳跃表中的一个元素gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$总元素达到了这个级别gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$只是gydF4y2Ba

$P_i = \frac1{2^i}gydF4y2Ba$

因为如果概率是gydF4y2Ba $\ frac12,gydF4y2Ba$然后为了创造一个新关卡，我们将为每个元素投硬币，看看它是否应该被包含进去。所以，在的概率gydF4y2Ba至少有一个gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$元素到达关卡gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba

$P_i \le \frac{n}{2^i}。gydF4y2Ba$

让我们用一些数字来看看这意味着什么。如果gydF4y2Ba $I = \log_2(n)，gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba

$P_i \le \frac{n}{2^{\log_2(n)}} = 1。gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$稍微增加到gydF4y2Ba $I = 3 \cdot \log_2(n)gydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba

$P_i \le \frac{n}{2^{3\log_2(n)} = \frac1{n^2}。gydF4y2Ba$

这意味着，如果gydF4y2Ba $N = 1000gydF4y2Ba$，有gydF4y2Ba百万分之一gydF4y2Ba任何一个特定元素进入顶层的几率。当然，这种分析并不严格，但具有高概率(这个词在随机化算法中经常使用)，gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$的高度gydF4y2Ba $\ log_2 (n)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

正如我们前面所讨论的，跳跃表的最坏情况非常糟糕。事实上，跳过列表的高度可以延伸到gydF4y2Ba $\ inftygydF4y2Ba$因为我们用的是随机抛硬币。然而，这种分析是不公平的，因为跳跃表的平均性能要好得多。我们来看看这个操作gydF4y2Ba搜索gydF4y2Ba．这是跳过列表的主要关注点，因为两者都有gydF4y2Ba插入gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba删除gydF4y2Ba都是用同样的方法证明的。gydF4y2Ba

搜索gydF4y2Ba

有两个嵌套gydF4y2Ba而gydF4y2Ba在这个函数中循环。外部循环类似于“向下扫描”跳转列表，内部循环类似于“向前扫描”跳转列表。gydF4y2Ba

我们已经证明了gydF4y2Ba以上gydF4y2Ba这是高度gydF4y2Ba $hgydF4y2Ba$的值gydF4y2Ba $O \大(\ log_2 (n) \大)。gydF4y2Ba$所以，跳跃表向下移动的最大次数是gydF4y2Ba $O \大(\ log_2 (n) \大)。gydF4y2Ba$

现在，让我们限定前进扫描的次数。假设我们扫描了gydF4y2Ba $n_igydF4y2Ba$水平键gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$在我们降落到地面之前gydF4y2Ba $张gydF4y2Ba$．我们进入这个级别后扫描的每个后续键都不能存在于这个级别中gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$否则我们早就看到了。概率是gydF4y2Ba任何gydF4y2Ba给定的键在这个级别是在级别gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $\ frac12。gydF4y2Ba$这意味着一旦我们下降，我们在新关卡中遇到的键的预期数量是2 agydF4y2Ba $O (1)gydF4y2Ba$操作。gydF4y2Ba

我们的两步，向下扫描和向前扫描gydF4y2Ba $O \大(\ log_2 (n) \大)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $O (1)gydF4y2Ba$时间,分别。这意味着我们搜索的总时间是gydF4y2Ba $O \大(\ log_2 (n) \大)。gydF4y2Ba$

如果这个分析感觉类似于gydF4y2Ba二叉搜索树gydF4y2Ba，那是因为它就是!如果仔细观察跳跃列表，它就像一棵树，较低的级别比较高的级别大。gydF4y2Ba

1. 穆勒,W。gydF4y2Ba维基百科跳过列表gydF4y2Ba．检索于2016年4月20日gydF4y2Bahttps://en.wikipedia.org/wiki/Skip_listgydF4y2Ba