和与差公式
正弦和与差分公式
和和和差公式表明
\[\begin{align} \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b \\ sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b \end{align}\]
这
\[\begin{align} \cos(a+b) &= \cos a \cos b−\sin a \sin b \\ \cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b. \end{align}\]
推导求和公式
\[\begin{align} \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b &= \cos a \cos b−\sin a \sin b.\end{align}\]
通过欧拉公式我们知道
\[e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta。\]
如果\(\theta = a + b \)，那么
\[e^{i(a+b)} = \cos(a+b) + i\sin(a+b)。\ qquad (1) \]
根据指数的代数性质，我们也知道
\[e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}。\]
因此,
\[\begin{align} e^{ia}e^{ib} &= (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b)\\ &=\cos a + i\sin b + i\sin b + i\ cos a + i^2\sin a \sin b &=\cos a - \sin a \sin b + \ align b\cos a). \end{align}\]
现在，从\((1)\)我们有
\[开始\{对齐}e ^{我(a + b)} & = \ cos (a + b) + i \罪(a + b) \ \ & = \因为罪一罪\因为b - \ \ b +我罪罪(\ \因为b + \ b \ cos) \{对齐}结束\]。
但是由于\(\cos \)和\(\sin \)是实值函数，所以它必须是正确的
\[\begin{align} \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b \ i\sin(a+b) &= i(\sin a \cos b + \sin b \cos a)， \end{align} \]
这意味着
\[\begin{align} \cos(a+b) &= \cos a\cos b - \sin a\ sin b \\ sin(a+b) &= \sin a\cos b + \sin b \cos a. \ _\square \end{align}\]
余弦和与差分公式
在图中，设点\(A\)旋转到点\(B\)和点\(C，\)，角\(alpha\)和\(beta\)定义如下:
\[\角AOB = \alpha， \四角BOC = \beta。\]
同时，设\(\overline{CD}\)和\(\overline{FG}\)都垂直于\(\overline{OA}，\)，且设\(E\)为\(\overline{CD}\)上的一个点，使得\(\lvert \overline{ED}\rvert=\lvert\overline{FG}\rvert.\)
那么可以得到余弦和\(\cos (\alpha+\beta)，\)的公式为\(\frac{\lvert \overline{OD}\rvert}{\lvert \overline{OC}\rvert}，\):
\[开始\{对齐}\ cos(\ \α+β)& = \压裂{\ lvert \眉题{OD} \ rvert} {\ lvert \眉题{OC} \ rvert} \ \ & = \压裂{\ lvert \眉题{OG} \ rvert} {\ lvert \眉题{OC} \ rvert} - \压裂{\ lvert \眉题{EF} \ rvert} {\ lvert \眉题{OC} \ rvert} \ \ & = \压裂{\ lvert \眉题{OG} \ rvert} {\ lvert \上划线的{}\ rvert} \ cdot \压裂{\ lvert \上划线的{}\ rvert} {\ lvert \眉题{OC} \ rvert} - \压裂{\ lvert \眉题{EF} \ rvert} {\ lvert \眉题{CF} \ rvert} \ cdot \压裂{\ lvert \眉题{CF} \ rvert} {\ lvert\overline{OC}\rvert} \qquad \left(\text{since}\ lvert \overline{OD}\rvert = \lvert \overline{OG}\rvert-\lvert \overline{EF}\rvert\right)\\ &= \cos \alpha \cdot \cos \beta -\ sin \alpha \cdot \sin \beta。结束\{对齐}\]
余弦差公式可由余弦和公式得到，只需将\(\beta\)替换为\(-\beta，\)，并使用\(\cos(-\beta) = \cos \beta\)和\(\sin(-\beta) = -\sin \beta:\)
\[\begin{align} \cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cdot \cos \beta -\ sin \alpha \cdot \sin β \\ \Rightarrow \cos(\alpha -\beta) &= \cos \alpha \cdot \cos(- beta) -\ sin \alpha \cdot \sin (- beta) \ &= \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \cdot \sin β。结束\{对齐}\]
综上所述，我们有以下两个余弦和和和余弦差公式:
Cosine-sum公式: \[\cos(\alpha + \beta)= \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta，\]
Cosine-difference公式: \[\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta .\]
\(\cos 75^\circ ?\)
从余弦和公式，我们有
\[\{对齐}\因为75年开始^ \保监会& = \ cos(45 ^ \保监会+ 30 ^ \保监会)\ \ & = 45 ^ \ \因为保监会\ cdot \ cos 30 ^ \保监会- \罪45 ^ 30 ^ \ \中国保监会\ cdot \罪保监会\ \ & = \压裂{\ sqrt {2}} {2} \ cdot \压裂{\ sqrt{3}}{2} - \压裂{\ sqrt {2}} {2} \ cdot \压裂{1}{2}\ \ & = \压裂{\ sqrt{6}}{4} - \压裂{\ sqrt{2}}{4} \ \ & = \压裂大概{6}- {\ \ sqrt{2}}{4}。\ _\square \end{align} \]
\(\cos 15^\circ ?\)
从余弦差公式，我们有
\[15 ^ \ \开始{对齐}\因为保监会& = \ cos(45 ^ \保监会- 30 ^ \保监会)\ \ & = 45 ^ \保监会\ \因为cdot 30 ^ \保监会+ \ \因为罪45 ^ 30 ^ \ \中国保监会\ cdot \罪保监会\ \ & = \压裂{\ sqrt {2}} {2} \ cdot \压裂{\ sqrt{3}}{2} + \压裂{\ sqrt {2}} {2} \ cdot \压裂{1}{2}\ \ & = \压裂{\ sqrt{6}}{4} + \压裂{\ sqrt{2}}{4} \ \ & = \压裂{\ sqrt {6} + \ sqrt{2}}{4}。\ _\square \end{align} \]
\(\cos 105^\circ ?\)
由余弦和公式可知，\(\cos 105^\circ \)为
\[\{对齐}\因为105年开始^ \保监会& = \ cos(60 ^ \保监会+ 45 ^ \保监会)\ \ & = 60 ^ \ \因为保监会\ cdot \ cos 45 ^ \保监会- \罪60 ^ \保监会\ cdot \罪45 ^ \保监会\ \ & = \压裂{1}{2}\ cdot \压裂{\ sqrt{2}}{2} - \压裂{\ sqrt {3}} {2} \ cdot \压裂{\ sqrt{2}}{2} \ \ & = \压裂{\ sqrt{2}}{4} - \压裂{\ sqrt{6}}{4} \ \ & = \压裂大概{2}- {\ \ sqrt{6}}{4}。\ _\square \end{align} \]
简化
\[\cos 140^\circ \cdot \cos 50^\circ + \sin 140^\circ \cdot \sin 50^\circ .\]
从余弦差公式，我们有
\[\begin{align} \cos 140^\circ \cdot \cos 50^\circ + \ sin140 ^\circ \cdot \ sin50 ^\circ &= \cos(140^\circ-50^\circ) \\ &= \cos 90^\circ \\ &= 0。\ _\square \end{align} \]
如果\罪(\ \α= \压裂{13}{14}\)和\罪(\ \β= \压裂{11}{14}\)\(0 < \α< \压裂{\π}{2}\)和\(0 < \β< \压裂{\π}{2}\)是什么\ \α+β\ ? \)
既然\(\sin^{2} x + \cos^{2}x =1，\)
\[开始\{对齐}\因为\α& = \√6{1 - \罪^{2}\α}= \√6{1 - \压裂{13 ^ 2}{14 ^ 2}}= \压裂{3 \ sqrt{3}}{14}, \ \ \因为\β& = \√6{1 - \罪^{2}\β}= \√6{1 - \压裂{11 ^ 2}{14 ^ 2}}= \压裂{5 \√{3}}{14}。结束\{对齐}\]
因此，由余弦和公式，我们有
\[开始\{对齐}\ cos(\ \α+β)& = \ cosα\ \ cdot \ cos \β-β\罪罪\α\ cdot \ \ \ \ & = \压裂{3 \ sqrt{3}}{14} \ * \压裂{5 \√{3}}{14}- \压裂{13}{14}\ * \压裂{11}{14 } \\ &= -\ 压裂{1}{2}。结束\{对齐}\]
因此，由于\(0< \alpha + \beta < \pi，\)，我们可以得到\(\alpha + \beta \)如下:
\[开始\{对齐}\ cos(\α+β\)& = - \压裂{1}{2}\ \ \ Rightarrow \α+β\ & = \压裂{2}{3}\π。\ _\square \end{align} \]
正切和与差分公式
正切和和差分公式为
\[开始\{对齐}\ tan (A + B) & = \ dfrac {\ tan + \ tan B}{1 - \谭谭\ B} \ \ \ \ \ tan (A - B) & = \ dfrac{\谭谭- \ B}{1 + \谭谭\ B}。结束\{对齐}\]
推导出切和公式。
我们知道
\[开始\{对齐}\罪(a + b) & =罪\ \因为b + \因为罪\ b & \ qquad (1) \ \ \ cos (a + b) & = \ cos \ b因为−\罪罪\ b。& \ qquad(2) \{对齐}结束\]
\((1)\)除以\((2)\)等于
\ [\ dfrac{\罪(a + b)} {\ cos (a + b)} = \ dfrac{\罪一个\ \因为b + \因为罪b}{\因为一个\因为罪罪−\ \ b}。\]
右边除以\(\cos a \cos b \)得到
\[\tan(a+b) = \dfrac{\dfrac{\sin a \ cosb}{\cos a \ cosb} + \dfrac{\cos a \ cosb}}{\dfrac{\cos a \ cosb}{\cos a \ cosb} - \dfrac{\sin a \ sinb}{\cos a \ cosb} = \dfrac{\tan a+ \tan b}{1 - \tan a \tan b}， \]
这就是求和公式。\ \(_ \广场)
推导出正切差公式。
我们知道
\[\tan(-a) = -\tan a .\]
将\(b = -b \)代入正切和公式，我们得到
\[开始\{对齐}\ tan \大(a + (- b) \大)& = \ dfrac {\ tan (a) + \ tan (- b)}{1 -谭\ \ tan (- b)} \ \ \ tan (a - b) & = \ dfrac{\谭谭- \ b}{1 + \谭谭\ b}。\ _\square \end{align} \]
这些恒等式对于求未知角的切线值很有用。
求\(\ tan75 ^{\circ} \)的值。
我们想把\(75^{\circ} \)分成两个已知切线的角。一个明显的一对是\((30 ^{\保监会},45 ^{\保监会})\)。
用正切和公式，我们有
\[\{对齐}\ tan 75年开始^{\保监会}= \ tan(30 ^{\保监会}+ 45 ^{\保监会})& = \ dfrac {\ tan 30 ^{\保监会}+ \ tan 45 ^{\保监会}}{1 - 30 \谭^{\保监会}\ tan 45 ^{\保监会 }} \\\\ &= \ 压裂{\压裂{1}{\ sqrt{3}} + 1}{1 - \压裂{1}{\ sqrt {3}} \ cdot 1 } \\\\ &= \ 压裂{\压裂{1 + \ sqrt{3}}{\√6 {3 }}}{\ \ \ \ 压裂{\ sqrt{3} - 1}{\√6 {3 }}\ \ \ } \\\\ &= \ 压裂{\ sqrt {3} + 1} {\ sqrt3 - 1}。\ _\square \end{align} \]
和与差三角公式-问题解决
证明
\[\sin(18^\circ) = \frac14\big(\sqrt5-1\big).\]
