转动动能-平移动能

动能是与物体运动有关的能量。

物体的运动可以分为

1. 纯粹的平移运动,
2. 纯旋转运动,
3. 混合平移和旋转运动(一般平面运动)。

物体是由许多小点粒子组成的。因此，要理解一个物体所拥有的总动能，首先要考虑单个粒子的动能。

一个粒子可以沿直线运动，也可以沿曲线运动。在这两种情况下，动能代表运动的能量，因此取决于粒子运动的速度。速度越高，动能越大。运动的量不仅取决于速度，也取决于质量。假设一辆卡车和一辆小汽车以相同的速度运动，那么卡车(由于它的质量更高)更难停下来，并且有更大的动能。因此，粒子的动能为
$K {E_ \文本{粒子}}= \压裂{1}{2}{v ^ 2}。$

在纯平动的物体中，所有的粒子都有相同的速度在纯平动运动中，物体中的所有粒子，在任何时刻，都具有相等的速度和加速度。动能是一个没有方向的标量。如果我们考虑一个刚体作纯平动运动，那么所有的质点都必须以相等的速度运动(例如 $v$)，总动能可由单个粒子的动能之和计算得到。因此, $\{对齐}开始KE_ \文本翻译{}& = \压裂{1}{2}{1}{v ^ 2} + \压裂{1}{2}{m_2} {v ^ 2} + \ cdots + \压裂{1}{2}{m_N} {v ^ 2} \ \ & = \压裂{1}{2}({1}+ {m_2} + \ cdots + {m_N}) {v ^ 2} \ \ & = \压裂{1}{2}{M_ \文本{身体}}{v ^ 2}。结束\{对齐}$

绕固定旋转轴旋转的物体对于一个纯旋转的刚体，其上的所有粒子都作圆周运动，其中心位于同一轴上，称为旋转轴。这个旋转轴在空间中是固定的，在任何时刻的速度都是零。这些粒子，在任何时刻，都有不同的速度和圆周运动半径，但角速度是相同的。在圆周运动中，指线速度 $v,$半径 $r,$和角速度 $\ω$是相关的
$v = r \ω。$因此，如果刚体被认为是由许多小粒子组成，那么对于一个小粒子 $dm$在远处 $r$从以速度移动的轴 $V = r\，$动能是，
$d(KE) = \frac{1}{2}dm{(r\ ω)²}。$

物体的总动能可以通过把所有这些基本粒子的动能加起来计算出来。对于求和，可以使用积分法。因此,
$KE_ \文本{纯旋转}= \ int_{} ^{}{\压裂{1}{2}dm {{(r \ω)}^ 2}}。$由于所有粒子的角速度是相同的，它可以从积分中去掉，
$KE_{纯旋转}= \压裂{1}{2}{\ω^ 2}\离开({\ int_ {} ^ {} {dm \ {r ^ 2}}} \右),$在哪里 $r$为质点到旋转轴的距离，因此括号中的项为物体绕旋转轴的转动惯量。因此, $KE_{纯旋转}= \压裂{1}{2}{I_ \文本{腐烂}}{\ω^ 2},$在哪里 ${I_ \文本{腐烂}}$为物体绕旋转轴的转动惯量。

当刚体旋转和翻译(这意味着旋转轴是不固定的,像一个轮子的运动),然后身体的运动可以被视为纯粹的结合翻译的质心和纯转动身体的重心。

物体在一般平面运动

考虑一个质心随速度运动的物体 $vec {V_ \ \文字{厘米}}$它有一个角速度 $\ω$．在质心坐标系中，质心是静止的，整个物体以角速度绕着质心旋转 $\ω$．现在让我们取一个质量很小的粒子 $dm$距离 $r$远离通过质心的轴。这个点相对于质心的速度是 $乘以vec r$．在背景中，速度是 $\vec \omega \times \vec r + {\vec V_\text{cm}}。$

为了计算总动能，

$\{对齐}开始客& = \ int_{} ^{}{\压裂{1}{2}dm \,vecω\ \大(\ \ * \ vec r + {{vec V \} _ {cm}} \文本\大)\ cdot \大(vec vec r +ω\ \ * \ \ {{vec V \} _ {cm}} \文本\大 )} \\ &= \ int_{} ^{}{\压裂{1}{2}左dm \[{\大vec r (vec \ω\ \ * \ \大)\ cdot \大vec r (vec \ω\ \ * \ \大)+ 2 {{vec V \} _ {cm}} \文本\ cdot \大vec r (vec \ω\ \ * \ \大)+ {{vec V \} _ {cm}} \文本\ cdot{{\矢量V} _{厘米}})}\文本\]}。结束\{对齐}$

作为距离测量的参考是通过质心的轴， ${int_{}^{} {dm\， r} = 0$
同时, $\ω$和 $r$是相互垂直的吗 ${int_{}^{} {dm\， {r^2}} = {I_ {text{cm}}，$所以

$\{对齐}开始客& = \压裂{1}{2}V_{_ \文本{厘米}}^ 2 \ int_ {} ^ {} {dm} + \压裂{1}{2}{\ω^ 2}\ int_ {} ^ {} {dm \, {r ^ 2 }} \\ &= \ 压裂{1}{2}MV_{_ \文本{厘米}}^ 2 + \压裂{1}{2}{I_ \文本{厘米}}{\ω^ 2}。结束\{对齐}$

这个词 $\压裂{1}{2}MV_{_ \文本{厘米}}^ 2$当整个物体随着速度平移时动能是否等于质心的速度，这一项 $\压裂{1}{2}{I_ \文本{厘米}}{\ω^ 2}$物体以角速度旋转时的动能是多少 $\ω$关于质心。