到目前为止,我们已经了解了火箭是如何在概念上飞行的。现在我们来推导推力推进火箭运动的中心方程。控制火箭运动的计算有些复杂,所以让我们从基础开始。gydF4y2Ba
火箭的运动本质上是动量守恒的结果。也就是说,对于一个给定的孤立系统,总动量保持不变。因此,如果火箭的主要部分在一个给定的方向上获得任何速度,它只能来自于在相反的方向上以某种速度喷射燃料。这种运动的发生,使火箭所增加的动量与喷射出来的燃料所增加的动量完全平衡。gydF4y2Ba
分析这种运动最简单的方法是考虑火箭在释放燃料之前和之后的瞬间gydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba.为简单起见,我们考虑一个以火箭的初速度飞行的观察者的坐标系。gydF4y2Ba
在燃烧和喷射燃料之前,整个火箭以恒定的动量巡航gydF4y2Ba
米gydF4y2BaVgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
为了提高火箭的速度,一包质量很大的燃料gydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba(在下面的图表中用黑色框起来)燃烧并以速度向后喷射gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba
相对于火箭而言,它减少了火箭的质量gydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba,并在一定程度上增加火箭速度gydF4y2Ba
ΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
如下图所示:gydF4y2Ba
因为没有外力作用在系统上(系统被认为是火箭和它的燃料),总动量的变化必须是零。如果我们用燃烧前的总动量减去燃烧后的总动量,就得到gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba=gydF4y2BaΔgydF4y2BapgydF4y2Ba=gydF4y2BapgydF4y2BatgydF4y2Ba−gydF4y2BapgydF4y2Ba0gydF4y2Ba=gydF4y2BaΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba(gydF4y2BaVgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba−gydF4y2BaugydF4y2Ba
)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba(gydF4y2BaVgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba+gydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba)gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba−gydF4y2BaΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BaVgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2BaVgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba(gydF4y2BaΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba−gydF4y2BaΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BaugydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba+gydF4y2Ba米gydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba+gydF4y2BaVgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba−gydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2BaugydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba+gydF4y2Ba米gydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
这就得到了质量和速度的变化之间的关系:gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba
ΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2BaΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
为什么我们可以忽略gydF4y2Ba
ΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2BaΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba以上计算中的项?gydF4y2Ba
如果我们重新整理这个方程,取极限gydF4y2Ba
ΔgydF4y2BaS变成了无限小的量gydF4y2Ba
(gydF4y2BaΔgydF4y2Ba米gydF4y2Ba→gydF4y2BadgydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
ΔgydF4y2BavgydF4y2Ba
船gydF4y2Ba→gydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba我们有gydF4y2Ba
米gydF4y2BadgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2BaugydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
最后,我们有gydF4y2Ba
dgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2BadgydF4y2Ba米gydF4y2Ba(火箭的质量变化等于负的无限小燃料包的质量),所以我们的关系变成gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba米gydF4y2BadgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2BaugydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这就是说,随着火箭变得越来越轻,它需要喷射的燃料越来越少,才能获得同样大小的速度提升。不幸的是,这只能在一定程度上起作用,当我们的火箭完全耗尽燃料,到达gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba马克斯gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
我们可以将这个关系从燃料燃烧开始到结束进行积分,得到速度作为火箭当前质量的函数:gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba∫gydF4y2BavgydF4y2Ba0gydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2BavgydF4y2BafgydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba米gydF4y2Ba0gydF4y2Ba米gydF4y2BatgydF4y2Ba米gydF4y2BadgydF4y2Ba米gydF4y2Ba=gydF4y2BavgydF4y2Ba0gydF4y2Ba+gydF4y2BaugydF4y2BalngydF4y2Ba米gydF4y2BatgydF4y2Ba米gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这表明,火箭飞船的速度纯粹是燃料质量的函数,直到现在,燃料被喷射出来。质量损失的速度有多快或有多慢并不重要,重要的是当前燃烧的总量。gydF4y2Ba
火箭在太空中作为燃烧燃料的函数的速度gydF4y2Ba
进行计算gydF4y2Ba
vgydF4y2BatgydF4y2Ba作为…的函数gydF4y2Ba
米gydF4y2BatgydF4y2Ba在这种情况下,火箭不是在自由空间,而是在对抗垂直重力场的力量gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba.是gydF4y2Ba
vgydF4y2BatgydF4y2Ba仍然是状态函数gydF4y2Ba
米gydF4y2BatgydF4y2Ba,gydF4y2Ba或者是gydF4y2Ba
vgydF4y2BatgydF4y2Ba现在取决于燃料使用的历史gydF4y2Ba
米gydF4y2BatgydF4y2Ba?gydF4y2Ba
46gydF4y2Ba
NgydF4y2Ba
72gydF4y2Ba
NgydF4y2Ba
148gydF4y2Ba
NgydF4y2Ba
以上都不是gydF4y2Ba
两艘长驳船以10公里/小时和20公里/小时的速度在静止的水中向同一方向移动。当它们相互经过时,煤以每分钟1000公斤的速度从慢速铲到快速铲。gydF4y2Ba
(a)较快的驳船和(b)较慢的驳船,如果两者都不能改变速度,它们的驱动引擎必须提供多少额外的力?gydF4y2Ba
假设铲雪始终是完全侧向的,驳船和水之间的摩擦力与驳船的质量无关。选一个等于(a)和(b)两个答案之和的答案。gydF4y2Ba
问题来源:gydF4y2Ba物理基础扩展,第9版gydF4y2Ba
火箭的逃逸速度:gydF4y2Ba
这是火箭要摆脱地球引力并逃逸到太空中所需要的最小速度。火箭在一定高度的动能gydF4y2Ba
hgydF4y2Ba是由下列公式给出的,可以帮助我们推导出逃逸速度的表达式:gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2BaRgydF4y2BaGgydF4y2Ba米gydF4y2Ba米gydF4y2Ba−gydF4y2BaRgydF4y2Ba+gydF4y2BahgydF4y2BaGgydF4y2Ba米gydF4y2Ba米gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
从物理学的观点来看,发射台上的火箭是能量的一种储存形式。它需要利用这种能量来获得一个大于地球逃逸速度的速度,其中逃逸速度可以计算为:gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BaVgydF4y2BaegydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2BaRgydF4y2BaegydF4y2BaGgydF4y2Ba米gydF4y2BaegydF4y2Ba米gydF4y2Ba⟹gydF4y2BaVgydF4y2BaegydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2BaRgydF4y2BaegydF4y2Ba2gydF4y2BaGgydF4y2Ba米gydF4y2BaegydF4y2Ba⟹gydF4y2BaVgydF4y2BaegydF4y2Ba=gydF4y2BaRgydF4y2BaegydF4y2Ba2gydF4y2BaGgydF4y2Ba米gydF4y2BaegydF4y2Ba
≈gydF4y2Ba1gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2BakgydF4y2Ba米gydF4y2Ba/gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba.gydF4y2Ba