递归关系-求和因子的方法

还有另一种方法来解这种形式的递归关系 $Aa_n = Ba_{n-1} + C$,在那里 $一个$， $B$和 $C$是函数的 $n$，一些引用将其称为求和因子法．这个方法非常简单 $一个$和 $B$是线性的功能 $n$，它解决了娱乐数学和计算机科学等领域的几个递归关系问题。

首先,定义一个求和的因素 $s_n$，乘以递归关系，得到

$As_n a_n = Bs_n a_{n-1} + Cs_n。$

这个求和因子的选择必须使“新”数序列具有 $文本(n - 1) ^ \ {th}$期限 $Bs_n现代{n}$和一个 $n ^ \文本{th}$期限 $As_n an$．这个因子被选择为

$s_n = \压裂{现代{n}现代{2}\ ldots a₂A_1} {B_n B_ {n} \ ldots B_3 B_2}。$

因此，我们现在可以让 $b_n = As_n a_n$和 $b_{n-1} = Bs_n$．递归关系现在变成

$b_{n} = b_{n} + Cs_n，$

在哪里 $Cs_n$可以被认为是 $文本(n - 1) ^ \ {th}$和 $n ^ \文本{th}$术语。因此，的封闭形式 $b_n$是

$b_n = b_0 + sum_{k = 1}^n Cs_k，$

在哪里 $C$是指数的函数吗 $k$．但 $b_0 = A_{n = 0} s_0$和 $b_n = As_n a_n$．因此，原递归关系的闭合形式为

$\盒装{\ displaystyle {an = \ dfrac {1} {As_n} \离开(现代{n = 0} s_0 a_0 + \ sum_ {k = 1} ^ n Cs_k \右)}}。$

求递归关系的闭形式 $T_0 = 0$， $T_n = 2T_{n-1} + 1$．

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求和的因素 $s_n$与 $(n) = 1$和 $B (n) = 2$是

$S_n = {frac{1 \乘1 \乘cdots \乘1}{2 \乘2 \乘cdots \乘2}= frac{1}{2^{n-1}}$

1和2出现在哪里 $n - 1$*每个。将这个乘以递归关系得到

$\压裂{1}{2 ^ {n}} T_n = \压裂{1}{2 ^ {n}} T_ {n} + \识别裂缝分析{1}{2 ^ {n}}。$

让 ${1}{2^{n-1}} T_n$．然后 $b_{n -1} = \dfrac{1}{2^{n-2}}T_{n-1}$和 ${1}{2^{0-1}} T_0 = 0$．所以,

$B_n = b_{n -1} + \frac{1}{2^{n-1}}。$

由此得出。的封闭形式 $b_n$是

$b_n = 0 + \ sum_ {k = 1} ^ n \压裂{1}{2 ^ {k - 1}} = \压裂{1 \ cdot \离开(\ frac12 \右)^ n - 1} {\ frac12 - 1} = 2 - \压裂{1}{2 ^ {n - 1}}。$

注意，上面的求和是一个有限的几何级数。但自 ${1}{2^{n-1}} T_n$的封闭形式 $T_n$是

$T_n = 2 ^ {n - 1} \离开(2 - \压裂{1}{2 ^ {n - 1}} \右)= \盒装{2 ^ n - 1}。\ _ \广场$

求递归关系的闭形式 $C_0 = 0$， $nC_n = (n + 1)C_{n - 1} + 2n - 2$．

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在这里 $(n) = n$和 $B(n) = n + 1$．求和因子是这样的

$s_n = \压裂{(n - 1) (n - 2) \ cdots 2 \ cdot 1} {(n + 1) (n) \ cdots 4 \ cdot 3} = \压裂{2}{n (n + 1)}。$

再一次,有 $n - 1$分子分母各有因子。乘 $s_n$给出了递归关系

$\压裂{2}{n + 1} C_n = \压裂{2}{n} C_ {n - 1} + \压裂{4 4 n} {n (n + 1)} = \压裂{2}{n} C_ {n - 1} + \离开(\压裂{8}{n + 1} - \压裂{4}{n} \右)$

通过部分分式分解。现在我们 $b_n = \压裂{2}{n + 1} C_n$,所以 $b_{n-1} = \frac{2}{n}C_{n -1}$和 ${2}{0+1}C_0 = 0$．因此,

$b_n = b_ {n - 1} + \离开(\压裂{8}{n + 1} - \压裂{4}{n} \右)$

的闭合形式 $b_n$是由

$b_n = 0 + \ sum_ {k = 1} ^ n \离开(\压裂{8}{k + 1} - \压裂{4}{k} \右)= \ sum_ {k = 1} ^ n \压裂{4}{k + 1} + \ sum_ {k = 1} ^ n \离开(\压裂{4}{k + 1} - \压裂{4}{k} \右)。$

注意RHS望远镜上的第二个总和是

$n \ \ sum_ {k = 1} ^离开(\压裂{4}{k + 1} - \压裂{4}{k} \右)= \压裂{4}{n + 1} - 4。$

另一方面，如果我们让 $\displaystyle{H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}}$是 $n ^ \文本{th}$谐波数第一项倒数的和 $n$正整数)，现在我们把RHS的第一个和写成

$n \ \ sum_ {k = 1} ^压裂{4}{k + 1} = \ sum_ {k = 2} ^ {n + 1} \压裂{4}{k} = \ sum_ {k = 1} ^ {n + 1} \压裂{4}{k} - \压裂{4}{1}= 4 h_ {n + 1} - 4。$

因此,

$b_n = (4 h_ {n + 1} - 4) + \离开(\压裂{4}{n + 1} - 4 \右)= 4 h_ {n + 1} + \压裂{4}{n + 1} - 8所示。$

自 $b_n = \压裂{2}{n + 1} C_n$，我们现在有的封闭形式 $C_n$

$C_n = \压裂{n + 1}{2} \离开(4 H_ {n + 1} + \压裂{4}{n + 1} - 8 \右)= \盒装{2 (n + 1) H_ {n + 1} + 2 - 4 (n + 1)}。$

如果需要，我们可以重写 $C_n$．自 $H_{n + 1} = H_n + \frac{1}{n + 1}$,我们获得

$C_n = 2 (n + 1) \左(H_n + \ dfrac {1} {n + 1} \右)+ 2 - 4 (n + 1) = 2 (n + 1) H_n + 2 + 2 - 4 n - 4 = \盒装{2 (n + 1) H_n - 4 n}。\ _ \广场$

让 $f$是一个满足方程的函数

$(n + 1)^2 f(n) - n^3 f(n - 1) = 1$

对于所有非负整数 $n$与 $f (0) = 3$．找到 $f (n)$．

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将方程改写为

$(n+1)²f(n) = n³f(n - 1) +1，$

我们可以看到, $= (n + 1) ^ 2$和 $B = n ^ 3$．因此，求和因子 $s_n$是

$s_n = \压裂{n ^ 2 (n - 1) ^ 2 (n - 2) ^ 2 \ cdots 2 ^ 2} {n (n - 1) ^ 3 ^ 3 (n - 2) ^ 3 \ cdots 2 ^ 3} = \压裂{1}{n (n - 1) (n - 2) \ \ cdot cdots 2(1)} = \压裂{1}{n !}。$

乘 $s_n$给出了递归关系

$\压裂{(n + 1) ^ 2} {n !} f (n)＝\frac{n^3}{n!} f(n-1) + \frac{1}{n!} = \frac{n^2}{(n-1)!} f(n-1) + \frac{1}{n!}.$

让 $b (n) = \压裂{(n + 1) ^ 2} {n !} f (n)$．然后 $b (n - 1) = \压裂{n ^ 2} {(n - 1) !} f (n - 1)$和 $b(0) = \压裂{(0 + 1)^ 2}{0 !} f(0) = 3$．这样，新的递归关系就形成了

$B (n) = B (n-1) + \frac{1}{n!}，$

从这里，我们得到了封闭形式 $b (n)$作为

$B (n) = B (0) + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} = 3+\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}。$

但 $b (n) = \压裂{(n + 1) ^ 2} {n !} f (n)$．因此，封闭从 $f (n)$是

$\盒装{\ displaystyle {f (n) = \ dfrac {n !} {(n + 1) ^ 2} \离开(3 + \ sum_ {k = 1} ^ n \ dfrac {1} {k !} \右)}}。\ _ \广场$

让 $\ {t_n \}$是一个实数序列 $t_0 = 1$和

$(n+1)t_n = t_{n-1} + (n²+ n+1)$

所有整数 $n \ geqslant 1$．求下面的余数 $t_{2017}识别$除以 $2017$．

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