平方根有两个值吗?

这是关于常见的误解．

这是对的还是错的?

$\大\根号{x^2} = \pm x$

为什么有些人认为这是真的:这正是我在学校学到的:当你取平方根时，答案总是“加减”某个值。

为什么有些人说它是错误的:当你方 $x,$无论之前是多少，它都是正的;然后，当你开根号时，它仍然是正的。因此，答案是公正的 $x | |$,而不是 $下午\ x$．

该声明是 $颜色\ {# D61F06} {\ textbf{假}}$．

解释:

在非负实数的标准定义域上， $\ sqrt {x}$定义为“非负实数，其平方等于? $x。$“例如, $\ sqrt {25} = 5$不 $\下午5$． $\ sqrt {x}$是这样定义的函数．

一个函数一组输入值(域)和一组输出值范围)，它具有每个接受的输入都对应的属性完全一个输出。这个属性通常被称为“传递垂直的线测试．"

为了让 $\ sqrt {x}$要成为一个函数，它对任何输入的求值必须是一个单独的、定义良好的输出。这就是为什么它是这样定义的。下面是平方根函数的图形。注意，这只是从原点伸出的单臂，而不是整个抛物线的旋转。

a的曲线 $90 ^ \保监会$整体旋转 $x ^ 2$抛物线不会通过垂直线测试，也不是函数。

扩展域到所有实数和范围到复数：

当平方根函数扩展到所有实数(正实数、负实数和0)的域时，它的行为精确地反映了上面所做的论证。负数的平方根是a复数．但是，即使它的域名扩展， $\ sqrt {x}$同样地，它仍然是一个函数。例如, $我大概{-25}\ = 5$不 $我下午\$．

反驳:但 $x ^ 2 = y$几乎总是有两种解决方法。例如,当 $y = 25$， $x = 5$和 $x = 5$两种解决方案。这只是我在学校学到的一般规则的一个例子当你解一个方程并在这个过程中对两边取平方根， $x ^ 2$就变成了 $下午\ x$．例如, $x ^ 2 = 25$就变成了 $x = \下午5$．

回复： $y = x ^ 2$有两种解决方案吗 $x = 5$和 $x = 5$是正确的，但当你以这种方式思考规则时，你是将学校教过的过程的两个步骤合并在一起。在学校里，你可能学过用两步解简单二次方程的技巧:

考虑到: $x ^ 2 = 25$
步骤1: $x = \ \下午sqrt {25}$
步骤2: $\pm\sqrt{25} = \pm 5$

的 $下午\$是这样应用的恰恰是因为平方根的取值范围仅限于正数，而函数 $x ^ 2$定义域是正的和负的。但是平方根本身的值就是5。

实际的规则是，当你想把 $x ^ 2$函数，很可能因为你要解一个平方过的变量或表达式，你必须 $下午\$在前面一开始不是平方的边的平方根这样你就可以把所有负数的定义域作为潜在的输入 $x ^ 2$函数。

这里的误解源于这个经常被称为“两边开平方根”的整个过程。这是一种误导的方式来描述你正在做的事情，因为实际上，你是在手动地应用一个实际的 $x ^ 2$函数作用于方程的两边。

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反驳:平方根是逆函数的 $x ^ 2$．这意味着它们抵消了。所以, $\ sqrt {x ^ 2}$仅仅是 $x$无论如何 $x$是多少。

回复的反函数不是平方根函数 $x ^ 2$对于所有实数。相反，它是 $x ^ 2$只有在间隔 $[0, \ infty)$．

这是平方根函数的图像。注意，这只是从原点伸出的单臂，而不是整个抛物线的旋转。

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反驳： $\大\根号{x^2} = \pm x$不是一个函数．它是一个方程。对函数奇异输出的限制只适用于当确定函数值时找到平方根的情况。

另请参阅

• 常见误解清单