一维运动学:直线运动gydF4y2Ba

我们所说的“移动的”身体是什么意思?如果一个物体随时间改变它的位置，我们就说它在移动。但是我们怎么能说身体在改变它的位置呢?这取决于观察者。比如说，你正坐在长凳上，你的眼睛工作正常，而一只讨厌的猫正坐在你旁边。通过看到猫，你可以说它是休息的，也就是说，它不动了。但如果你想象自己在月球上，用一架非常好的望远镜观察这只讨厌的猫，你会说这只猫在移动(因为地球相对于月球的运动)。记住，当你说猫在动或不动时，猫是否在“动”它的腿并不重要，我们只关注猫的位置变化。gydF4y2Ba

至此，我们已经建立了运动是运动物体和观察者的综合性质。没有观察者，运动就没有意义。gydF4y2Ba

我们将要讨论最简单的运动类型，即直线运动。gydF4y2Ba

现在，当质点在直线上运动时，我们一般选择质点运动的直线作为x轴，选择合适的时间矩为t=0。一般把质点在t=0时所处的点作为原点。粒子在t时刻的位置由当时的坐标x给出。gydF4y2Ba

粒子的速度是gydF4y2Ba $v = \压裂{dx} {dt}gydF4y2Ba$加速度是gydF4y2Ba $一个= \压裂{dv} {dt} = \压裂{d x ^ 2} {dt ^ 2}gydF4y2Ba$

粒子在x轴上运动它的x坐标在t × -时刻gydF4y2Ba $X =(t²+ t + 1)mgydF4y2Ba$求出质点的位置，速度和加速度gydF4y2Ba $t = 0gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $t = 1gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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假设粒子的x坐标随时间t变化gydF4y2Ba $X =(t²+ t + 1)mgydF4y2Ba$……(我)gydF4y2Ba

所以，它是时间的速度gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$将- - - - - -gydF4y2Ba $v = \压裂{dx} {dt} = \压裂{d (t ^ 2 + t + 1)} {dt} = t + 1 (2) m / sgydF4y2Ba$…(2)gydF4y2Ba

时刻的加速度gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $A =\frac{dv}{dt} =\frac{d (2t+1)}{dt} = 2m/sgydF4y2Ba$它不依赖于时间，也就是常数。gydF4y2Ba

把值gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$在式(i)和式(ii)中得到粒子在任意时刻的位置和速度。gydF4y2Ba

现在，我们要研究直线运动的一种特殊情况，也就是恒定加速度。gydF4y2Ba

假设粒子的加速度是gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$这是常数。让速度在gydF4y2Ba $t = 0gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$,也就是说,gydF4y2Ba $v (t = 0) = ugydF4y2Ba$．因此,gydF4y2Ba

$= \压裂{dv} {dt}gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $dv = adtgydF4y2Ba$

将从gydF4y2Ba $t = 0gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $t =gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $\ int _{你}^ {v (t)} {dv} = \四\ int _ {0} ^ {t}{一个dt}gydF4y2Ba$

我们得到,gydF4y2Ba $V (t) - u = a(t-0)gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $\boxed{v(t)= u + at}gydF4y2Ba$……(我)gydF4y2Ba

这个方程可以写成gydF4y2Ba $\frac{dx}{dt}= u + atgydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $Dx = (u + at)dtgydF4y2Ba$

将从gydF4y2Ba $t = 0gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $t =gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba

我们得到,gydF4y2Ba $X (t) - X (t=0) = u(t-0) + \frac{a(t-0)^2}{2}gydF4y2Ba$

或者,gydF4y2Ba $X (t) - X (t=0) = ut + \frac{at^2}{2}gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba $x (t = 0) = 0gydF4y2Ba$那么,gydF4y2Ba $\boxed{x(t) = ut + \frac{at^2}{2}}gydF4y2Ba$．．．．(2)gydF4y2Ba

$请注意gydF4y2Ba$——有时候,gydF4y2Ba $v (t)gydF4y2Ba$简单地写为gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $x (t)gydF4y2Ba$作为gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$当gydF4y2Ba $x (t = 0) = 0gydF4y2Ba$

尽量消除变量gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$由(i)和(ii)得到，gydF4y2Ba $\boxed{v^2 - u^2 = 2ax}gydF4y2Ba$

例子问题2gydF4y2Ba

粒子从gydF4y2Ba $x = 0gydF4y2Ba$以初速度gydF4y2Ba $2.5米/秒gydF4y2Ba$沿着x正方向匀速加速gydF4y2Ba $0.5米/秒^ 2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

(a)计算它在最初两秒内所经过的距离。gydF4y2Ba

(b)达到这个速度需要多少时间gydF4y2Ba $7.5米/秒gydF4y2Ba$?gydF4y2Ba

(c)达到这个速度要走多远gydF4y2Ba $7.5米/秒gydF4y2Ba$?gydF4y2Ba

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首先，我们应该检查粒子是否会返回。gydF4y2Ba

作为粒子的初速度，gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$沿着x正方向，加速度也在同一个方向，速度在x正方向不断增加，粒子永不回头。gydF4y2Ba

我们有,gydF4y2Ba $X (t) = ut + \frac{at^2}{2}gydF4y2Ba$

$x (t = 2 s) = (2.5 m / s) (2 s) + \压裂{((0.5米/秒^ 2)(2)^ 2}{2}gydF4y2Ba$

$X (t= 2s) = 5m + 1m = 6mgydF4y2Ba$

因此，覆盖的距离=位移(因为粒子永远不会回头)=gydF4y2Ba $X (t=2 s) - X (t=0) = 6m - 0 m = \ boxxed {6m}gydF4y2Ba$

从gydF4y2Ba $V (t)= u + atgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba

$7.5米/秒= 2.5米/秒+(0.5米/秒²)(t)gydF4y2Ba$

在求解过程中，我们会得到，gydF4y2Ba $\盒装{t = 10 s}gydF4y2Ba$

对于(c)部分，我们有gydF4y2Ba $V ^2 - u^2 = 2axgydF4y2Ba$

把gydF4y2Ba $V = 7.5 m/s, u = 2.5 m/sgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $A = 0.5 m/s^2gydF4y2Ba$我们得到,gydF4y2Ba $\盒装{x = 50 m}gydF4y2Ba$

记住,gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$表示粒子在时间上的位置gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$而不是(一般来说)它在时间上所走的距离gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

举个例子，如果一个粒子从gydF4y2Ba $x = 2米gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $t = 0gydF4y2Ba$和手机套gydF4y2Ba $x = 9米gydF4y2Ba$在时间gydF4y2Ba $t sgydF4y2Ba$，则它所经过的距离gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $t sgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $9米-2米= 7米gydF4y2Ba$但是位置是由gydF4y2Ba $x = 9米gydF4y2Ba$在时间gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$

更一般的公式是gydF4y2Ba
$x ({t} _ {2}) - x ({t} _ {1}) = u ({t} _ {2} - {t} _{1}) + \压裂{1}{2}一个({t} _ {2} - {t} _ {1}) ^ 2gydF4y2Ba$

当你知道的时候，这个方程是有用的gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$，并要计算质点在时间上的位移gydF4y2Ba ${t}_{1}gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba ${t}_{2}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

然后,位移=gydF4y2Ba $\δxgydF4y2Ba$＝gydF4y2Ba $x ({t} _ {2}) - x ({t} _ {1}) = u ({t} _ {2} - {t} _{1}) + \压裂{1}{2}一个({t} _ {2} - {t} _ {1}) ^ 2gydF4y2Ba$

我们生活在地球上，所以你们对地球表面的重力很熟悉。举个例子，当你把一个球直接扔上去(几乎)，它会上升，减速，停一会儿，开始向下移动，速度增加，然后落回表面。(然后它反弹回来，以此类推，但在这里我们只描述它的运动直到球(或身体)第一次接触表面。我们说球是“自由下落的”。当我们使用自由落体这个表达时，我们不一定指从静止状态掉落的物体。gydF4y2Ba

自由落体gydF4y2Ba

自由下落的物体是任何在重力的作用下自由运动的物体，不管它的初始运动是什么。向上或向下抛去的物体，以及从静止状态中释放出来的物体，一旦被释放，都是自由下落的。任何自由下落的物体都会经历向下的加速度，不管它的初始运动是什么。gydF4y2Ba

如果我们忽略空气阻力，假设自由落体加速度在较短的垂直距离内不随高度变化，那么垂直运动的自由落体物体的运动等价于恒定加速度下的一维运动。gydF4y2Ba

我们通常用符号来表示自由落体加速度的大小gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$．我们通常把“up”定义为褒义gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$说明和使用方法gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$作为运动学方程中的位置变量。在地球表面，的值gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$大约是gydF4y2Ba $9.80米/秒^ 2gydF4y2Ba$．为了快速估计，使用gydF4y2Ba $g = 10 m / s ^ 2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

我们推导出的一维运动方程在这种情况下是有效的。对于自由落体，我们需要对这些方程做的唯一修改是注意运动是在垂直方向上的gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$方向)而不是水平方向gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$方向，加速度是向下的，大小是gydF4y2Ba $9.80米/秒^ 2gydF4y2Ba$．因此,gydF4y2Ba $A = -g = -9.8 m/s^2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

例子问题3gydF4y2Ba

球以……的速度被抛起gydF4y2Ba $4米/秒gydF4y2Ba$从地面。求出球能达到的最大高度。取gydF4y2Ba $g = 10 m / s ^ 2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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以垂直向上的方向为正gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$方向,gydF4y2Ba $y = 0gydF4y2Ba$在地面，我们有gydF4y2Ba $u = 4米/秒gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $= - g = -10 m / s ^ 2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

当球到达最高点时，它的速度为零。使用gydF4y2Ba $V²= u²+ 2aygydF4y2Ba$,gydF4y2Ba

为了找到最大高度，gydF4y2Ba $v = 0gydF4y2Ba$ $0 = 4²+ 2(-10)ygydF4y2Ba$

$Y = 0.8米gydF4y2Ba$

所以，球的最大高度是gydF4y2Ba $\盒装{0.8}gydF4y2Ba$

例子问题4gydF4y2Ba

如图所示，一块石头从一幢高楼的顶部落下。自由落体3.00秒后，石头的位移y是多少?使用gydF4y2Ba $g = 9.8 m / s ^ 2gydF4y2Ba$

落球gydF4y2Ba

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在这里,gydF4y2Ba $u = 0gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $= - g = -9.8 m / s ^ 2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

$\Delta y = 0(3) + \frac{1}{2} (-9.8)(3)^2gydF4y2Ba$

$\Delta y = \ boxxed {-44.1 m}gydF4y2Ba$