复合系统的牛顿第二定律gydF4y2Ba

牛顿三大运动定律构成了经典力学的基础。现代力学讨论的核心是粒子的概念，即一个足够小的物体，它的运动可以通过给出它的位置作为时间的函数来充分描述。牛顿第一定律通过描述粒子在没有净力的情况下的行为，定义了人们如何识别一个粒子上存在的合力。第二定律表达了质点受到的合力，gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$，以及这个力产生的加速度。用粗体字母表示向量，用常规字体表示标量，这种关系由公式表示gydF4y2Ba

$\mathbf{F} = m \mathbf{a}，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $F \ mathbf {}gydF4y2Ba$是作用在质点上的合力，gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $\ mathbf{一}gydF4y2Ba$是粒子的加速度。gydF4y2Ba

对于扩展的物体，在旋转运动相关的情况下，我们必须考虑在什么地方施加各种合力。这种考虑导致了扭矩的概念。在考虑扭矩之前，我们将证明，对于净外力和质心加速度，粒子系统遵循牛顿第二定律。gydF4y2Ba

一个扩展的物体将被视为点粒子的集合。由于系统中的粒子可以相互施力，所以合力gydF4y2Ba $F \ mathbf {} _ \ textrm{我,净}gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $我^ \文本{th}gydF4y2Ba$质点是净外力之和gydF4y2Ba $F \ mathbf {} _ \ textrm{我,ext}gydF4y2Ba$和合力gydF4y2Ba $F \ mathbf {} _ \ textrm{我,int}gydF4y2Ba$。如下图所示，由于牛顿第三定律，在考虑整个系统的平移运动时，可以忽略系统中粒子相互作用的力:gydF4y2Ba

$F \ mathbf {} _ \ textrm{我,净}= \ mathbf {F} _ \ textrm{我,ext} + \ mathbf {F} _ \ textrm{我,int}。\ qquad (1)gydF4y2Ba$

因此作用在系统上的合力是gydF4y2Ba

$F \ mathbf {} _ \ textrm{净}= \ sum_i \ mathbf {F} _ \ textrm{我,ext} + \ sum_i \ mathbf {F} _ \ textrm{我,int}。\ qquad (2)gydF4y2Ba$

(2)右边的第一个和是作用在系统上的净外力gydF4y2Ba $F \ mathbf {} _ \ textrm{净,ext}gydF4y2Ba$，当使用牛顿第三定律时，第二个和就等于零。让gydF4y2Ba $F \ mathbf {} _ \ textrm {i, j}gydF4y2Ba$成为在上面的力gydF4y2Ba $我^ \文本{th}gydF4y2Ba$粒子由于gydF4y2Ba $j ^ \文本{th}gydF4y2Ba$粒子。牛顿第三定律是gydF4y2Ba

$F \ mathbf {} _ \ textrm {i, j} = - \ mathbf {F} _ \ textrm {j,我}。\ qquad (3)gydF4y2Ba$

(2)右边的第二项是gydF4y2Ba

$F \ sum_i \ mathbf {} _ \ textrm{我,int} = \ sum_i \ sum_j \ mathbf {F} _ \ textrm {i, j} = 0, \ qquad (4)gydF4y2Ba$

因为内力是成对抵消的。因此,gydF4y2Ba

$F \ mathbf {} _ \ textrm{净}= \ mathbf {F} _ \ textrm{净,ext}。\ qquad (5)gydF4y2Ba$

现在，通过引入质心的概念，我们可以看到，对于平移运动，我们可以把整个系统看作一个服从牛顿第二定律的“粒子”，其中施加的力就是净外力，而“粒子”的加速度就是质心的加速度。在考虑复合系统时，这是一个相当大的简化。gydF4y2Ba

位置向量gydF4y2Ba $r \ mathbf {} _ \ textrm{厘米}gydF4y2Ba$粒子系统的质心是位置向量的“加权平均值”gydF4y2Ba $r \ mathbf {} _ \ textrm{我}gydF4y2Ba$在所有粒子中:gydF4y2Ba

$r \ mathbf {} _ \ textrm{厘米}= \ sum_ \ textrm{我}\压裂{m_i \ mathbf {r} _i}}{米,\ qquad (6)gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$是总质量gydF4y2Ba $M = \sum_i m_igydF4y2Ba$。质心的速度和加速度分别为:gydF4y2Ba

$\ mathbf {v} _ \ textrm{厘米}= \压裂{d \ mathbf {r} _ \ textrm{厘米}}{dt}, \四\ mathbf{一}_ \ textrm{厘米}= \压裂{d ^ 2 \ mathbf {r} _ \ textrm{厘米}}{dt ^ 2}。\ qquad (7)gydF4y2Ba$

将牛顿第二定律应用于每个粒子:gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始mathbf {F} _ \ textrm{我}& = m_ \ textrm{我}\ mathbf{一}_ \ textrm{我}\ \ & = m_ \ textrm{我}\压裂{d ^ 2 \ mathbf {r} _ \ textrm{我}}{dt ^ 2} \ \ \ \ \ mathbf {F} _ \ textrm{净,ext} & = \压裂{d ^ 2} {dt ^ 2} \ sum_ \ textrm{我}m_ \ textrm{我}\ mathbf {r} _ \ textrm{我}\ \ & = M \ mathbf{一}_ \ textrm}{厘米。\qquad (8) \end{对齐}gydF4y2Ba$

这意味着质心在净外力的作用下加速，就像粒子在作用于它的净外力的作用下加速一样。gydF4y2Ba

炮弹以…的投射角发射gydF4y2Ba $\theta_{0} = 30^\circgydF4y2Ba$速度为gydF4y2Ba $V_ {0} = 400\text{m/s}gydF4y2Ba$。在其轨迹的顶点，弹壳爆炸成两部分，其中较大部分的质量是较小部分的三倍。较小的碎片直接落在爆炸点以下。较大的碎片落在离发射点多远的地方?假设没有空气阻力，地面是水平的，重力加速度为gydF4y2Ba $G = 9.8\text{m/s}^2gydF4y2Ba$。gydF4y2Ba

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让gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$以相同的投射角度和相同的速度发射而不爆炸的相同炮弹的射程。选择发射点的原点，让gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$是小块的质量gydF4y2Ba $m_2gydF4y2Ba$是较大部分的质量。这是已知的gydF4y2Ba $M_2 = 3m_1gydF4y2Ba$这gydF4y2Ba $x_1 = \frac{1}{2}R，gydF4y2Ba$并要求找到gydF4y2Ba $x_2gydF4y2Ba$。gydF4y2Ba

弹壳发射后，作用在系统上的净外力，就是弹壳的重量。因此，爆炸炮弹的质心与未爆炸炮弹的轨迹相同，因此射程相同。为gydF4y2Ba $间的文本\{厘米}gydF4y2Ba$棋子落地后，我们有gydF4y2Ba $x_\text{cm} = RgydF4y2Ba$。利用我们得到的信息，我们有gydF4y2Ba

${对齐}R & = \ \开始压裂{0.5 rm_1 + 3 1 x_2}{4 1} \ \ & = \压裂{0.5 R + 3 x_2} {4} \ \ \ Rightarrow x_2 & = \压裂{7}{6}R。\qquad (9) \end{对齐}gydF4y2Ba$

抛射物的射程是gydF4y2Ba

$R = \frac{v_{0}^2 \sin (2\theta_0)}{g}。\ qquad (10)gydF4y2Ba$

计算了gydF4y2Ba $X_2 = 19 \text{km}gydF4y2Ba$。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

扭矩gydF4y2Ba $\ mathbf{\τ}gydF4y2Ba$关于力产生的原点gydF4y2Ba $F \ mathbf {}gydF4y2Ba$是由位置向量定义的吗gydF4y2Ba $r \ mathbf {}gydF4y2Ba$一个粒子的力是gydF4y2Ba

$\mathbf{\tau} = \mathbf{r}\乘以\mathbf{F}。\ qquad (11)gydF4y2Ba$

对于的系统gydF4y2Ba $NgydF4y2Ba$有质量的粒子gydF4y2Ba $m_ \ textrm{我}gydF4y2Ba$位置向量gydF4y2Ba $r \ mathbf {} _ \ textrm{我}gydF4y2Ba$，上的扭矩gydF4y2Ba $我^ \文本{th}gydF4y2Ba$由合力产生的粒子，gydF4y2Ba $F \ mathbf {} _ \ textrm{我,净}gydF4y2Ba$,是gydF4y2Ba

$\ mathbf{\τ}_ \ textrm{我}= \ mathbf {r} _ \ textrm{我}\ * \ mathbf {F} _ \ textrm{我,净}。\ qquad (12)gydF4y2Ba$

所选原点处系统的净转矩或总转矩为gydF4y2Ba

$\ mathbf{\τ}_ \ textrm{净}= \ sum_i \ mathbf {r} _i \ * \ mathbf {F} _ \ textrm{我,净}。\ qquad (13)gydF4y2Ba$

利用式(1)，系统的净转矩为gydF4y2Ba

$\mathbf{\tau}_\textrm{net} = \sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_\textrm{i,int} + \sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_\textrm{i,int}。\ qquad (14)gydF4y2Ba$

方程右边的第一项是净外扭矩gydF4y2Ba $\ mathbf{\τ}_ \ textrm{净,ext}gydF4y2Ba$第二项是内部力矩的和，对于纯机械力，它可以被证明为零。(在电磁理论中，情况并非如此。)gydF4y2Ba

的位移矢量gydF4y2Ba $m_igydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $m_jgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $r \ mathbf {} _ \ textrm {i, j}gydF4y2Ba$=gydF4y2Ba $r \ mathbf {} _jgydF4y2Ba$-gydF4y2Ba $r \ mathbf {} _igydF4y2Ba$。(见下图)gydF4y2Ba

对于机械力，除了牛顿第三定律gydF4y2Ba $F \ mathbf {} _ \ textrm {i, j}gydF4y2Ba$= -gydF4y2Ba $F \ mathbf {} _ \ textrm {j,我}gydF4y2Ba$即所谓牛顿第三定律的强形式，即内力gydF4y2Ba $F \ mathbf {} _ \ textrm {i, j}gydF4y2Ba$平行于gydF4y2Ba $r \ mathbf {} _ \ textrm {i, j}gydF4y2Ba$。替换gydF4y2Ba $F \ sum_i \ mathbf {} _ \ textrm{我,int}gydF4y2Ba$=gydF4y2Ba $\sum_i \sum_j \mathbf{F}_\textrm{i,j}gydF4y2Ba$，内转矩之和为gydF4y2Ba

$r \ sum_i \ mathbf {} _i \ * \ mathbf {F} _ \ textrm{我,int} = \ sum_i \ sum_j \ mathbf {r} _ \ textrm{我}\ * \ mathbf {F} _ \ textrm {i, j}。\ qquad (15)gydF4y2Ba$

式(15)右边的和可以写成gydF4y2Ba

$r \ sum_i \ sum_j \ mathbf {} _ \ textrm{我}\ * \ mathbf {F} _ \ textrm {i, j} = \压裂{1}{2}\ sum_i \ sum_j \ mathbf {r} _ \ textrm{我}\ * \ mathbf {F} _ \ textrm {i, j} + \压裂{1}{2}\ sum_j \ sum_i \ mathbf {r} _ \ textrm {j} \ * \ mathbf {F} _ \ textrm {j,我}。\ qquad (16)gydF4y2Ba$

收集项并使用牛顿第三定律得到gydF4y2Ba

$r \ sum_i \ sum_j \ mathbf {} _ \ textrm{我}\ * \ mathbf {F} _ \ textrm {i, j} = \压裂{1}{2}\ sum_i \ sum_j (\ mathbf {r} _i - \ mathbf {r} _j) \ * \ mathbf {F} _ \ textrm {i, j} = \压裂{1}{2}\ sum_i \ sum_j \ mathbf {r} _ {j。i} \times \mathbf{F}_\textrm{i,j}\ qquad (17)gydF4y2Ba$

利用牛顿第三定律的强形式，每一项的外积都是零。因此,gydF4y2Ba

$\sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_\textrm{i,int} = 0， \qquad (18)gydF4y2Ba$

和gydF4y2Ba

$\mathbf{\tau}_\textrm{net} = \sum_i \mathbf{r}_i \乘以\mathbf{F}_\textrm{i,ext} = \mathbf{\tau}_\textrm{ext}。\ qquad (19)gydF4y2Ba$

最后，我们推导了力矩和角动量之间的关系，得到了牛顿第二定律的旋转类比。角动量gydF4y2Ba $我^ \文本{th}gydF4y2Ba$系统中的粒子是gydF4y2Ba $L \ mathbf {} _igydF4y2Ba$=gydF4y2Ba $m_igydF4y2Ba$ $\mathbf{r}_i \乘以\mathbf{v}_igydF4y2Ba$。粒子系统的总角动量是gydF4y2Ba

$L \ mathbf {} = \ sum_i \ mathbf {L} _i = \ sum_i m_i \ mathbf {r} _i \倍\ mathbf {v} _i。\ qquad (20)gydF4y2Ba$

区分gydF4y2Ba $L \ mathbf {}gydF4y2Ba$相对于时间给予gydF4y2Ba

$\ \压裂{d mathbf {L}} {dt} = \ sum_i m_i \压裂{d \ mathbf {r} _i} {dt} \ * \ mathbf {v} _i + \ sum_i m_i \ mathbf {r} _i \ * \压裂{d \ mathbf {v} _i} {dt}。\ qquad (21)gydF4y2Ba$

方程(21)右侧的第一个和是零，因为叉乘，第二项是净扭矩。因此，我们有gydF4y2Ba

$\ mathbf{\τ}_ \ textrm{净}= \压裂{d \ mathbf {L}} {dt}。\ qquad (22)gydF4y2Ba$

应用程序:gydF4y2Ba骑自行车时，转动车把杆会对转动的前轮产生扭矩。这迫使角动量矢量的方向改变。变化是向上还是向下，取决于分别是向右转还是向左转。这是骑自行车的人保持自行车直立的方法。gydF4y2Ba

现在我们将考虑刚体绕任意固定轴的旋转。系统中的粒子绕轴作固定的圆周旋转，并保持彼此相对的位置。下图显示了质量系统中的一个粒子gydF4y2Ba $m_{我}gydF4y2Ba$，通过原点绕轴做圆周旋转gydF4y2Ba $OgydF4y2Ba$。轴垂直于圆的平面，从上面看运动方向为逆时针，如曲线箭头所示:gydF4y2Ba

粒子的速度矢量就是叉乘gydF4y2Ba

$\ mathbf {v} _{我}= \ mathbf{ω\}\ * \ mathbf {r} _ {}, \ qquad (23)gydF4y2Ba$

角动量是gydF4y2Ba

$\ mathbf {L} _{我}= m_i \ mathbf {r} _{我}\ * \ mathbf {v} _{我}= m_i \ mathbf {r} _{我}\ * (\ mathbf{ω\}\ * \ mathbf {r} _{我})。\ qquad (24)gydF4y2Ba$

应用向量三重积的恒等式，即所谓的gydF4y2BaBAC-CAB身份gydF4y2Ba,给gydF4y2Ba

$L \ mathbf {} _ {} = m_{我}\大(r_{我}^ 2 \ mathbf{\ω}- (\ mathbf {r} _{我}\ centerdot \ mathbf{\ω})\ mathbf {r} _{我}\]大。\ qquad (25)gydF4y2Ba$

因此，刚体绕旋转轴的总角动量为，gydF4y2Ba

$L \ mathbf {} = \ sum_i \ mathbf {L} _i = \ sum_i m_{我}\大(r_{我}^ 2 \ mathbf{\ω}- (\ mathbf {r} _{我}\ centerdot \ mathbf{\ω})\ mathbf {r} _{我}\]大。\ qquad (26)gydF4y2Ba$

定义单位二阶张量gydF4y2Ba $\mathbf{\iota}gydF4y2Ba$这样，对于每个向量gydF4y2Ba $w \ mathbf {}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

$\mathbf{\iota} \centerdot \mathbf{w} = \mathbf{w}。\ qquad (27)gydF4y2Ba$

转动惯量张量的定义是gydF4y2Ba

$\ mathbf{我}= \ sum_i m_{我}\大(r_{我}^ 2 \ mathbf{\极微小}- \ mathbf {r} _{我}\ otimes \ mathbf {r} _{我}\]大。\ qquad (28)gydF4y2Ba$

根据惯性矩张量的定义，刚体的角动量为gydF4y2Ba

$\mathbf{L} = \mathbf{I} \centerdot \mathbf{\omega}。\ qquad (29)gydF4y2Ba$

惯性矩张量的分量产生一个对称矩阵，因此有三个相互正交的特征向量gydF4y2Ba $\mathbf{a}_{k}\， (k = 1,2,3)gydF4y2Ba$与特征值gydF4y2Ba $I_ {k}gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba

$我\ mathbf {} \ centerdot \ mathbf{一}_ {k} = I_ {k} \ mathbf{一}_ {k}。\ qquad (30)gydF4y2Ba$

通过质心的旋转轴，平行于惯量张量的本征向量，称为物体的主轴，本征值称为主惯量矩。对于绕主轴旋转的刚体，角动量为gydF4y2Ba $L \ mathbf {}gydF4y2Ba$=gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$ $\ mathbf{\ω}gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$转动惯量是绕轴转动的吗gydF4y2Ba $\ mathbf{\ω}gydF4y2Ba$是角速度矢量。自gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$是常数吗gydF4y2Ba

$\mathbf{\ tau}_\textrm{net} = \mathbf{\ tau}_\textrm{ext} = I\frac{d \mathbf{\omega}}{dt} = I\ mathbf{\alpha}。\ qquad (31)gydF4y2Ba$

这就是旋转运动的牛顿第二定律。gydF4y2Ba