牛顿-拉弗森方法

的牛顿迭代法(也称为牛顿方法)是一种快速找到实值函数根的良好近似的方法 $F (x) = 0$．它使用的思想是，一个连续的和可微的函数可以被一条直线切线逼近。

假设你需要求一个连续可微函数的根 $f (x)$，你知道你要找的根在点附近 $X = x_0$．牛顿法告诉我们根的更好近似是 $X_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}。$这个过程可以根据需要重复多次，以获得所需的精度。一般来说，对于任何 $x$价值 $x_n$，下一个值由 $X_ {n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}。$

注意:术语“接近”使用松散，因为在本文中不需要精确的定义。然而, $从$应该比任何其他根更接近您需要的根(如果函数有多个根)。

下面这张图展示了牛顿方法的实际工作:

我们在图像上画一条切线 $f (x)$在这一点上 $X = x_n$．这条直线有斜率 $f ' (x_n)$穿过这个点 $\大(x_n f (x_n) \大)$．因此它有这个方程 $Y = f'(x_n)(x - x_n) + f(x_n)$．现在，我们通过设置求出这条切线的根 $Y = 0$而且 $x =间{n + 1}$对于新的近似。解这个方程得到新的近似，也就是 $X_ {n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$．

求方程的根 $X ^2 - 4x - 7 = 0$附近 $X = 5$精确到千分之一。

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我们有 $X_0 = 5$．为了使用牛顿法，我们还需要知道的导数 $f$．在这种情况下， $F (x) = x^2 - 4x - 7$, $F '(x) = 2x - 4$．

利用牛顿法，我们得到了如下的近似序列:

$\{对齐}开始x_1 & = 5 - \压裂{5 ^ 2 - 4 \ * 5 - 7}{2 \ * 5 - 4}= 5 - \离开(\压裂{2}{6}\右)= \压裂{16}{3}\大约5.33333 \ \ x_2 & = \压裂{16}{3}- \压裂{\离开(\压裂{16}{3}\右)^ 2 - 4 \离开(\压裂{16}{3}\右)- 7}{2 \离开(\压裂{16}{3}\右)4}= \压裂{16}{3}- \压裂{\压裂{1}{9}}{\压裂{20}{3}}= \压裂{16}{3}- \压裂{1}{60}= \压裂{319}{60}\大约5.31667 \ \ x_3 & = \压裂{319}{60}- \压裂{\离开(\压裂{319}{60}\右)^ 2 - 4 \离开(\压裂{319}{60}\右)- 7}{2 \离开(\压裂{319}{60}\右)4}=\压裂{319}{60}- \压裂{\压裂{1}{3600}}{\压裂{398}{60}}\约5.31662。结束\{对齐}$

我们可以停下来了，因为的千位数和万分位数 $x_2$而且 $x_3$都是一样的。如果我们继续，它们将保持不变，因为我们已经足够接近根源:

$x_4 = 5.31662 - \压裂{(5.3362)^ 2 - 4(5.3362)7}{2(5.3362)4}= 5.31662。$

因此，我们最终的答案是5.317。 $_ \广场$

如果周围有拐点、局部极大值或极小值，牛顿方法可能行不通 $从$或者根。

例如，假设你需要找到的根 $27x^3 - 3x + 1 = 0$离这里很近 $X = 0$．
正确答案是 $-0.44157265 \ ldots$然而，牛顿的方法会给你以下结果:

$x_1 = \压裂{1}{3},x_2 = \压裂{1}{6},x_3 = 1, x_4 = 0.679, x_5 = 0.463, x_6 = 0.3035, x_7 = 0.114, \ ldots x_8 = 0.473。$

这显然毫无帮助。这是因为函数在周围的图像 $X = 0$看起来是这样的:

正如你所看到的，这个图有一个局部最大值，一个局部最小值和一个拐点 $X = 0$．要了解为什么牛顿的方法在这里没有帮助，想象一下在两者之间随机选择一个点 $X = -0.19$而且 $X = 0.19$并在这一点处画出函数的切线。这条切线的斜率是负的，因此会与 $y$-轴，在离根更远的点上。

在这种情况下，它会帮助我们得到一个更接近的起点，在那里这些临界点不会相互干扰。