速度向量的乘法(乘以标量)

您可能已经注意到，使用笛卡尔表示法来表示位移向量(即\(\vec{m}_1 = \langle 1,2,3 \rangle \))有点不方便。它们的一个缺点是不能立即清楚地知道在进行位移\(\vec{m}_1\)时移动了多远。快速计算可以清楚地表明，我们移动了一个距离\(l1 = \√{1^2+2^2+3^2}= \√{14}\)，这表明我们的位移(及其所有向量表示)的长度为\(l1 \)。但是现在我们有了长度为\(l1 \)和方向为\(\langle 1,2,3 \rangle \)的距离。

简化表示法的一种常用方法是显式地将向量分解为一个标量长度和一个方向向量，这样所有的方向向量都有相同的长度1。我们说这些是单位向量(因为它们的长度是一个单位)，在它们指向的方向上。例如，由\(\vec{m}_1 = \langle 1,2,3 \rangle \)给出的位移在\(\vec{e}_1 = \langle \frac{1}{\sqrt{14}}， \frac{2}{\sqrt{14}}， \frac{3}{\sqrt{14}}\rangle \)方向上的长度为\(l_1 = \sqrt{14} \约3.74\)。

然后我们可以说\(\vec{m}_1 = l_1\vec{e}_1\)，我们的意思就很清楚了。沿\(e_1\)方向的长度\(l1 \)的移动。这里\(l1 \)是一个数字，它与坐标系本身无关。\(\vec{e}_1\)也独立于坐标，但它的具体表示将取决于我们使用的系统(圆柱、极坐标、笛卡尔坐标系等等)。

如果我们想重复两次位移\(\vec{m}_1\)，我们可以使新的位移\(\vec{m}_2 = 2 \vec{m}_1 = 2l1 \vec{e}_1\)。这种重复不仅限于整数，我们可以有\(\vec{m}_\frac{3}{7} = \frac{3}{7} \vec{m}_1\)， \(\vec{m}_\pi = \pi \vec{m}_1\)，或一般的\(\vec{m}_t = t\vec{m}_1 = tl_1\vec{e}_1\)，它们表示时间上的连续运动。

随着我们在力学、电动力学、相对论等领域探索更多的主题，矢量沿其方向的扩张和收缩将是一个基本的工具。