微观状态

物理学的大部分工作都是计算简单问题的精确结果，例如带电粒子在场中的运动，悬挂在两个固定装置之间的弦的曲线，或者细胞中高复制酶的表达。简单并不是说容易，而是说这个问题的碎片数量相对较少，并且可以使用通常的动力学定律进行计算。然而，在许多问题中，例如疾病在人群中的传播，聚合物的材料特性，高峰时段附近的交通流量，或神经元集合中记忆的形成，其中有大量相关的，可能相互作用的部分，一个精确的方法是不可能的，也不可取，我们可以从统计的角度来解决问题。

这类问题的一个重要特征是,我们通常不感兴趣的完整描述的状态变量,而是其中的一个小子集后,例如,而不是问“这个特定PCR引物势必会绑定到该基因组中特定目标?”,我们问“什么分数的目标基因组PCR引物结合吗?”,或者一些条件,一般将他们的行为分为几组,如。感染率与死亡率之比是多少埃博拉病毒会完全感染整个人群吗?”而不是“X人会感染埃博拉吗?”完全指定一个系统的状态，即使是适度的复杂性(这样我们就可以开始想象一个确定性的计算)也会比生活中的大多数其他追求花费更多的时间和精力，而且几乎不会产生任何价值。

为了更好地理解这个问题，让我们考虑从一副标准的52张牌中抽出一手牌的系统。如果我们想知道系统的确切状态，我们会问“你有什么牌?”这个问题，我们可能会听到任何 $\ binom {52} {5}$可能性包括 $5\spadesuit，\text{K}\heartsuit， \text{J}\clubsuit, 2\diamondsuit， \text{3}\heartsuit$．这种描述被称为微观状态因为它精确地指定了每张牌的值。此外，如果我们问一个流行的问题“发生这种情况的可能性有多大?”，答案很简单 $1 / \ binom {52} {5}$因为每一手牌出牌的概率都是一样的，也就是说，每一种微观状态都是等概率的。

幸运的是，在玩扑克时，我们通常对我们手牌的精确微观状态描述不感兴趣，而是对它是否属于一种常见的模式，比如“同花顺”、“直”或“四”，等等．这叫做宏观我们系统的描述，因为它捕获了基本信息(模式的描述)，而没有指定细节(确切的卡片)。

如果我们需要通过微观状态描述来确定扑克中的赢家，请考虑我们的任务。对于每一组手，我们将需要查阅的查找表 $\binom{52}{5} = 2,598,960$条目，在列表中搜索与每只手牌完全匹配的条目，并比较它们的值。

在宏观状态描述中，我们可以将注意力集中在一个小得多的可能性集合上，例如“手中任意四张牌的数量相同的手”，或者“五张牌被安排成连续序列的手?”，其概率可以很容易地用组合数学计算出来。在扑克中，我们唯一关心的宏观状态(以及它们的概率)是

$c c \开始{数组}{| | |}\线\文本{模式}& \{微观状态}\ \ \线\文本{皇家同花顺}& 4 \ \ \{同花顺}&文本(常规)\ * 4 = 36 \ \ \文字{四张相同的牌}& 13 \ * 24 = 624 \ \ \{浪漫满屋}&文本\ binom {4} {2} \ * \ binom{4}{3} \ * 13 \ * 12 = 3744 \ \ \文字{红}& 4 \ \ binom{13}{5} - 4 - 36 = 5108 \ \ \文字{直}& 10 \ * 4 ^ 5 - 40 = 10200 \ \ \文字{任何三张相同的牌}& 13 \ * \ binom {4} {3} \ * \ binom {12} {2} \ * \ binom{4}{1} ^ 2 - 3744 = 51168 \ \ \{两双}&文本\binom{4}{2}^2\times 13\times 12\times 2\times 11= 123,552 \\ \text{any two of a kind} & \binom{4}{2}\times 13\times \binom{12}{3} \times 4^3= 1,098,240 \\ \hline \end{array}$

管理九种可能性vs $2.5 \ times10 ^ 6$(一个 $\ sim$减少10万倍)为其他任务腾出了大量的思考空间。

在扑克游戏中，宏观状态让我们能够跳过多余的细节，比如我们是否拥有 $7\clubsuit，\text{K}\heartsuit， \text{2}\clubsuit, 2\heartsuit， \text{9}\heartsuit$或 $\text{A}\diamondsuit，\text{K}\ spadessuit，\text{2}\heartsuit, 2\diamondsuit， \text{9}\clubsuit$，来处理不同卡片图案的可能性，从而给我们一个游戏。换句话说，对于大多数模式来说，有很多很多可能的手，最终我们有哪一种手并没有太大的区别。我们主要关心的是模式的值，它与微小的细节无关(在上述两种情况中，我们只有一对2)。这种情况在统计力学中是类似的，通过研究系统的宏观状态描述，我们消除了大量由微观状态引入的不必要的复杂性，并使我们有更好的机会取得进展。

注意，在扑克游戏中，宏观状态的值与潜在微观状态的数量直接相关。如果我们假设每个单独的手牌都是等概率的(这是正确的，对所有牌组洗牌的平均)，那么宏观状态的可能性简单地给定为与之对应的所有微观状态的总和，除以可能的微观状态的总数，再减去1。如果我们有一个模式 $\γ$，一个州 $年代$我们说，这符合模式 $\gamma \sim s = 1$,否则 $\gamma \sim \mathcal{S} = 0$．

因此，我们可以写出模式的概率 $\γ$作为

$p(\γ)= \压裂{\ sum_ \ mathcal{}年代\ sim \伽马}{\ sum_ \ mathcal{年代}}$

它的价值是 $v(\γ)= p(\γ)^{1}= \压裂{\ sum_ \ mathcal{年代}}{\ sum_ \ mathcal{}年代\ sim \伽马}$

在哪里 $\ mathcal{年代}$是所有状态的集合。

例如

• 在扑克, $\ mathcal{年代}$是所有的集合吗 $\ binom {52} {5}$扑克手。
• 在凌乱的房间里， $\ mathcal{年代}$是一套衣服的所有安排(很少有安排对应一个干净的房间!)
• 在RNA序列的非相互作用副本的稀释溶液中 $\ mathcal{年代}$是RNA序列所有折叠构型的集合。
• 在神经网络中， $\ mathcal{年代}$是所有神经元活动的集合。

我们可以用下面的类比来说明微观状态、宏观状态和不相关细节的总和之间的联系。

微观状态、宏观状态和粗粒度

在扑克(物理)中，我们对给定模式(宏观状态)的不同可能实例(微观状态)执行某种求和(粗粒度)，并处理纯模式的描述。