肥皂泡和蜂巢的数学
你是否曾经吹肥皂泡并想知道为什么泡泡是球形的?或者羡慕一个蜂房，想知道为什么蜂房会形成一个六边形的瓷砖?我们将探索这些自然形状及其形成背后的数学原理。
肥皂泡的数学
吹肥皂泡对各个年龄段的人来说都是一件有趣的事。你有没有想过为什么肥皂泡是这样形成的?这是一个简单的肥皂泡从一个圆形棒吹:
为什么肥皂泡是球形的，而不是另一种形状，比如与圆棒半径相同的长而细的椭球?试试下面的肥皂配方，自己吹泡泡吧。
成份:
- 6部分水
- 1份洗碗液
对于更长的泡泡，加入1/3份甘油或玉米糖浆。
尝试使用不同类型的魔杖，如管道清洁器、金属衣架，或弯曲成多边形、螺旋形或堆叠圆形的柔性金属丝。
当你将电线弯曲成圆圈并将其浸入肥皂水中时会发生什么？结果是跨越圆圈的肥皂膜。肥皂膜采用形状，使由于表面积引起的弹性能量最小化，同时仍然跨越棒的轮廓。（在物理世界中，重力也会发挥作用，但我们会忽略这些影响。）
当你吹肥皂泡时，有一部分空气被困在了肥皂泡中。然后，由于表面张力，肥皂泡或气泡团自然地试图最小化其体积的表面积。
极小曲面原理：肥皂泡尝试假设可能包含给定体积的最小表面积的形状。
在数学上，SOAP气泡将形成的形状是最小化问题：表面区域在约束下寻求尽可能小（音量是恒定的，边界跨越给定的计数）。这被称为高原的问题．让我们比较一下相同体积下几种不同形状的表面面积。
为了推广这个问题，考虑体积为1厘米的不同正多面体的表面积 ：
观察正多面体的表面积随着边数的增加而减小。球体是体积为1厘米的所有形状中表面积最小的形状吗 ？虽然由Archimedes制定了这个问题，但在下面的定理中，Hermann Schwarz并未证明它直到1884年。
三维的等周定理：具有给定体积的最小表面积的形状是球体。
这个定理表明球面确实是所有可能形状中表面积最小的三维形状。由于肥皂泡试图最小化表面积(在没有其他物理力的情况下，比如重力)，这就解释了为什么肥皂泡会形成球体而不是其他形状。
飞机中的气泡簇
当气泡团聚集在一起时会发生什么?它们的形状是什么?类似于单个肥皂泡，气泡团找到了最小表面积的形状，包围了多个区域的体积。让我们首先考虑在二维平面中会发生什么。
第一次观察是为固定区域 和 ，两个圆圈被推到一起，共享一堵分隔区域的墙 和 周长小于两个不相交的圆。这两个圈子应该走多远?这个形状是否给出了包围区域的所有可能形状的最小周长 和 ？这些问题是通过以下定理解决的，在1993年证明。
飞机中双泡沫：在1993年，Alfaro, Brock, Foisy, Hodges和Zimba展示了形状的配置，用最小周长包围两个相等的区域，两个相交的圆被一条线隔开，使所有的弧以120度角相交:
红色点表示在120度时会议的角度。
飞机上的三重气泡:在2002年，Wichirama显示出具有最小周边的形状的构造，其封闭三个相等区域的三个相等的圆圈实现，使得电弧全部以120度角度满足：
为飞机上的四个或更多气泡找到最小周长的最优配置的问题目前仍然悬而未决。推测的形状配置遵循上面的模式，所有相交的圆以120度的角度相交:
通常，SOAP气泡总是以120度的相同角度成群组。显示四个或气泡的配置是最佳的仍然是一个公开问题 - 也许是你将是在这些猜想中取得进展的人！
蜜蜂的蜂巢
对于平面上四个或更多气泡的最优配置的假设引出了下面的问题:如果我们考虑越来越多的气泡会发生什么?你可能会注意到，更多气泡的最优配置的模式开始像一个六边形的平铺平面。如果这些结构确实是最优的，这就引出了一个问题:我们在自然界中观察到六边形瓷砖吗?
自然界中的两个六边形倾斜的例子
- 1）在两个玻璃板之间形成的肥皂膜图案
- 2）由蜡制成的蜂窝，由许多蜜蜂在蜂窝状的不同部位同时工作。
在19世纪，查尔斯达尔文观察到蜂窝是工程壮举“绝对完美的劳动力和蜡”。
对于一只储存固定量蜂蜜的蜜蜂，我们已经知道，储存固定量蜂蜜的周长最小的形状是圆形。然而，如果我们在平面上并排排列圆，那么这些圆将会留下空隙，而不是填满整个空间。换句话说，如果有几只蜜蜂同时工作，它们就不会使储存的蜂蜜总量的周长总和最小化。相反，蜜蜂找到了一个解决方案，使之最小化集体蜂蜜总量的周长。
古希腊人知道六边形的周长小于相同面积的正方形或三角形的周长。然而，没有理由说所有的单元格都必须有相同的边长，或者为什么单元格没有弯曲的边长而不是直线的边长。
的蜂窝猜想几个世纪以来，托马斯C. Hales在1999年给出了一个证据。
蜂窝定理（Hales）:六边形网格提供了将一个表面划分成面积相等、周长最小的区域的最佳方法。
如果平铺具有弯曲的侧面，则凸出的侧面将最小化电池周长，而凸起的侧面将损伤周边。HALE证明凸出的优势低于膨胀的缺点。换句话说，如果它对具有超过六个边或其向外弯曲的惩罚，则没有单个细胞可以比六边形更好。这给了一个完整的证明，多边形具有比弯曲侧的直边工作更好，六边形平铺是所有配置中最好的。注意，在六边形平铺中，会议点始终通过120度角度的线路会议的三元组形成。见下面的挑战#whali120degrees.
太空中的肥皂泡
当多个气泡在空间中结合在一起时，就会出现更复杂的形式。最简单的例子是双气泡，当三个或更多的气泡连接在一起时，可以形成美丽的结构。
这种配置是否给出了最小的表面积来包围并分离两种不同的卷？所有可能的配置，我们如何证明它是最好的？这个问题很长一段时间仍然是一个公开的问题，并引发了在数学领域的有趣研究几何测度理论．2000年，Morgan, Hutchings, Ritoré和Ros解决了这个问题双泡沫猜想对于任意的双气泡。
双重泡沫定理:该结构包含两个具有最小表面积的固定体，由两个相交的球体以120度的角度在一个共同的圆上相交而成。
如果两个气泡的体积相同，相交球体的交点处的公共圆为平圆。如果两个气泡的体积不同，则较小的气泡内部压力较高，会膨胀成较大的气泡。对于任何大小的气泡，会合点总是由以120度角相遇的三组气泡组成。这个120度的规则总是成立的，即使是复杂的泡沫收集，如泡沫。这又提出了一个问题#whali120degrees.？
的三相泡沫问题仍然是开放的，推测的最佳配置遵循上面的模式，相交的球体以120度的角度相遇。
两个平行圆环之间的肥皂膜形成Catenoid的形状，方程式 在圆柱坐标。
链面是一个最小曲面，它的所有点都是马鞍点，这意味着在各个点，在一个方向上向上弯曲表面向上沿垂直方向向下弯曲。
当环被拉得更远时，颈部会变窄，直到达到临界分离，然后链状体会弹出两个薄膜环，横跨两个平行环。自己尝试一下这个活动，试着找出关键的分离点!
本周问题
对于数学中的许多巨大问题，对解决方案的追求往往会导致进一步的问题。我们研究了肥皂泡和蜂窝的最小化原则，但另一个问题出现了：为什么通过120度角度的线间会议三元组成的最小表面的会议点？您是否有任何直觉发生这种原因？我们鼓励您向您的朋友，您的家人，教师咨询和与辉煌会员讨论。要进一步讨论，请尝试将立方体框架置于电线中并将其浸入SOAP解决方案中。你有这个形状吗？有多少120度角？#whall120degrees？
我们将在未来的帖子中研究这一120度角原理。