拉格朗日插值

的拉格朗日插值公式是一种在任意点取特定值的多项式。具体地说，它给出了下面定理的一个建设性证明。

假设有一个点(1,3)我们怎么能找到一个多项式来表示它呢? $P (x) = 3$ $P (1) = 3$

假设我们有一系列点:(1,3)(2,4)。我们怎么能找到一个多项式来表示它呢? $P (x) = \压裂{(x - 2)}{(1 - 2)} \ * 3 + \压裂{(x - 1)} {(2 - 1)} \ * 4$ $P(1) = 3\\P(2) = 4$

假设我们有一系列点:(1,3)(2,4)(7,11)。我们怎么能找到一个多项式来表示它呢? $P (x) = \压裂{(x - 2) (x 7)}{(1 - 2)(1 - 7)} \ * 3 + \压裂{(x - 1) (x 7)}{(2 - 1)(2 - 7日)}\ * 4 + \压裂{(x - 1) (x - 2)} {(7 - 1) (7 - 2)} \ * 11$ $P(1) = 3\\P(2) = 4\\P(7) = 11$一般情况下，它是这样的: $P (x) = \压裂{\离开(x - x _{2} \) \离开(x - x _{3} \右)}{\离开(x _ {1} - x _{2} \) \离开(x _ {1} - x _{3} \右)}_ {1}+ y \压裂{\离开(x - x _{1} \) \离开(x - x _{3} \右)}{\离开(x _ {2} - x _{1} \) \离开(x _ {2} - x _{3} \右)}_ {2}+ y \压裂{\离开(x - x _ {1｝\right) \left( x - x _ { 2 } \right) } { \left( x _ { 3 } - x _ { 1 } \right) \left( x _ { 3 } - x _ { 2 } \right) } y _ { 3 }$ $P(x) = \sum _1^3 P_i (x) y_i$

鉴于 $n$独特的真正价值 $X_1 x_2 ldots x_n$和 $n$真实的值 $Y_1 y_2 ldots y_n$(不一定不同)，有一个唯一的多项式 $P$实系数满足 $P (x_i) = y_i$为 $I \ in \ {1,2，\ ldots，n \}$,这样 ${二}\文本(P) < n。$ $_ \广场$

这个定理可以看作是一个众所周知的事实的推广，即两点唯一决定一条直线，三点唯一决定一个二次多项式的图，四点唯一决定一个三次多项式的图，等等。(二注意事项:(1)各点要求有不同 $x$- - （2）“二次多项式”实际上可能是线性或恒定多项式，“立方多项式”实际上可能是二次，线性或恒定的多项式，等等。）

首先，证明多项式 $P$是独特的：假设 $问$和 $R$是具有上述性质的多项式。然后 $Q-R.$消失在 $x_1、x_2 \ ldots x_n,$但其程度小于 $n。$一次的非零多项式 $< n$不能有 $n$根,所以 $Q-R.$必须是零多项式，即 $Q = R。$

为了证明这一点 $P$存在,让 $P_1 (x) = \压裂{(x-x_2) (x-x_3) (\ cdots) (x-x_n)} {(x_1-x_2) (x_1-x_3) (\ cdots) (x_1-x_n)}。$然后 $P_1 (x_1) = 1$和 $P_1 (x_2) = P_1 (x_3) = \ cdots = P_1 (x_n) = 0。$

类似的构造多项式 $P_2、P_3 \ ldots P_n$这样 $P_j (x_j) = 1$和 $P_j (x_i) = 0$对所有 $我\ neq j$．(一种写作方式 $P_j (x)$是 $p_j（x）= \ frac {f（x）} {（x-x_j）f'（x_j）}，$在哪里 $f (x) = (x-x_1) (x-x_2) (\ cdots) (x-x_n)。)$

然后, $P(x) = \sum y_i P_i(x)$实系数的多项式满足吗 $P (x_i) = y_i$对所有 $I \in \{1,2， \ldots n \}$．它是多次多项式的和 $n-1，$所以它的度是 $< n。$ $_ \广场$

另请注意，定理仍然持有，具有与上述相同的证明，如果有的话<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ring-theory/" class="wiki_link" title="场" target="_blank">场替换实数(如有理数、复数、整数mod $P，$等等)。

用拉格朗日插值法求多项式 $P$学位 $< 4$满意

$\ begin {array} {c}＆p（1）= 1，＆p（2）= 4，＆p（3）= 1，＆p（4）= 5，\ end {array}$

多项式是什么 $P_1(x)， P_2(x)， P_3(x)， P_4(x)， P(x)$？

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让 $f (x) = (x - 2) (3) (* 4)$．然后 $f(1) =(1)(2)(3) = 6 \文本,{}P_1 (x) = - \压裂{1}{6}(x - 2)(3)(* 4)。$

让 $f (x) = (x - 1) (3) (* 4)$．然后 $f(2) =(1)(1)(2) = 2 \文本,{}P_2 (x) = \压裂{1}{2}(x - 1)(3)(* 4)。$

让 $f (x) = (x - 1) (x - 2) (* 4)$．然后 $f(3) =(2)(1)(1) = 2 \文本,{}P_3 (x) = - \压裂{1}{2}(x - 1) (x - 2)(* 4)。$

让 $f (x) = (x - 1) (x - 2) (3)$．然后 $f（4）=（3）（2）（1）= 6 \ text {，so} p_4（x）= \ frac {1} {6}（x-1）（x-2）（x-3）．$

因此， $\ begin {对齐} p（x）=＆1 \ times \ left（ - \ frac {1} {6}右）（x-2）（x-3）（x-4）+ 4 \ times \ frac {1} {2}（x-1）（x-3）（x-4）\\＆+ 1 \ times \ left（ - \ frac {1} {2} \右）（x-1）（x-2）（x-4）+ 5 \ times \ frac {1} {6}（x-1）（x-2）（x-3）。\结束{对齐}$

简化了 $P(x) = {frac{13}6 x^3 -16x^2+ frac{215}6 x -21。$ $_ \广场$

拉格朗日插值与<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/method-of-differences/" class="wiki_link" title="方法的差异" target="_blank">方法的差异，也可以用来解决上面的一些问题。

• 方法的差异 $乳胶$