积分近似-辛普森法则

假设 $f (x)$是在区间上定义的 $[a, b]。$那么整个区间上的辛普森法则近似于定积分 $f (x)$用公式求区间 $b \ int_a ^ f (x) \, dx \大约\压裂{b} 6 \离开(f (a) + 4 f \左(\压裂{a + b} 2 \右)+ f (b) \右)。$这个想法是如果 $f (x) = 1, x,$或 $x ^ 2,$这个公式是一个精确的等式。辛普森法则给出了任何二次函数的正确积分。一般来说，辛普森法则是近似的 $f (x)$通过抛物线通过图上的点 $f (x)$与 $x$坐标 $, \压裂{a + b} 2 b。$

辛普森法则通常是将区间分割成 $N$大小相同的小区间, $N$为偶数，并用上述估计逼近每对相邻子区间的积分。

也就是说,让 $x_0 = a, x_1 = a + \压裂{b} {N}, x_2 = a + 2 \压裂{b} {N} \ ldots间{N} = a + (N - 1) \压裂{b} {N}, x_N = b。$然后 ${对齐}\ \开始int_{一}^ {x_2} f (x) \, dx & \大约\压裂{b} {3 n} (f (a) + 4 (x_1) + f (x_2)) \ \ \ int_ {x_2} ^ {x_4} f (x) \, dx & \约\压裂{b} {3 n} (f (x_2) + 4 (x_3) + f (x_4)) \{对齐}结束$等等。把这些加起来 $b \ int_a ^ f (x) \, dx \大约\压裂{b} {3 n} (f (a) + 4 (x_1) + 2 f (x_2) + 4 (x_3) + 2 f (x_4) + \ cdots + 4 f(间{n}) + f (b))。$

让 $f (x) = x ^ 4,$ $一个= 0,$ $b = 4。$

把区间分成 $4$平等的小区间了 $\ int_0 ^ 4 x ^ 4 \, dx = \ frac13 (0 ^ 4 + 4 (1) ^ 4 + 2 (2) ^ 4 + 4 (3) ^ 4 + 4 ^ 4) = 205 \ frac13。$与积分的实际值进行比较 $4 ^ 5/5 = 204.8。$