虚数单位

虚数单位的 $我$是一个非实数。实数系统 $R \ mathbb {}$扩展到复数系统 $C \ mathbb {}$采取 $我$考虑到:

$mathbb{C} = {a + bi | a,b \in mathbb{R} \}。$

的定义 $我$很模糊。 $我$“a”是二次方程的解吗 $X ^2 = -1。$实数的平方不可能是负的，所以这个方程没有实数解。无论如何,我们有 $I ^2 = -1，$根据 $我。$

许多属性 $R \ mathbb {}$应用于 $C \ mathbb{}。$例如, $(1) = -$对所有 $mathbb{C}，$和 $ab ^2 = a^2 b^2，$对所有 $mathbb{C}。$然后我们有

$(- i) ^ 2 = ((1) i) ^ 2 =(1) ^ 2 ^ 2 = 1 \ *(1) = 1。$

奇怪的是这两个方程 $我^ 2 = 1$和 $(我)^ 2 = 1$持有。哪一个是真虚单位 $我$和 $我吗?$不管怎样，人们决定定义 $我$作为“虚”单位。事实上，定义它并不是一个问题 $-我$为虚数单位。 $我$都是虚构的，在现实世界中并不存在。 $我$是一个抽象的概念，和复数系统有什么关系 $我$和 $-我$因为它们的虚单位具有相同的性质。

加法和乘法的规则 $C \ mathbb {}$可以从结合律，分配律和交换律得出，哪个仍然成立 $C \ mathbb{}。$对所有 $一个= p +气$和 $b = r +硅,$在哪里 $p, q, r, s \in \mathbb{r}，$

$\开始{对齐}+ b & = (p +气)+ (r + si) \ \ & = (p + r) +(气+ si) \ \ & = (p + r) + (q + s)我,结束\{对齐}$

和

$\{对齐}开始ab & = (p +气)(r + si) \ \ & =公关+ psi + qri + qsi ^ 2 \ \ & =公关+ (p + qr) i + qs(1) \ \ & =公关- q + (p + qr)我。结束\{对齐}$

对于复数 $一个= p +气,$在哪里 $p, q \in \mathbb{R}，$ $p$叫做实部 $一个$,用 ${你}\文本(一),$和 $问$是什么 $一个,$用 $文本\ {Im} (a)。$纯虚数是实部为0的复数。

如果 $X ^2 = -4，$是什么 $x ?$

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从 $2 ^ 2 = 4$和 $(pm i)^2 = - 1，$我们有

$我下午(2 (\))^ 2 = 2 ^ 2 (\ pm我)^ 2 = 4 \ * (1)= 4,$

所以答案是 $X = pm 2i。$ $_ \广场$

是什么 $(2+3i) + (5+8i)$

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我们可以将两个复数的实部和虚部分别相加: $\{对齐}开始(2 + 3)+ (5 + 8 i) = &(2 + 5) +(3 + 8)我\ \ = & 7 + 11。\ \ _ \广场结束{对齐}$

是什么 $(4+3i) \乘以(2-7i) ?$

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我们可以用分配律把两个复数相乘 $\begin{aligned} (4+3i) \times (2-7i) =& (4 * * 2 +3 * * 7) + (-4 * * 7 +3 * * 2)i \\ =& 29 - 22i。\ \ _ \广场结束{对齐}$

加法的倒数是什么 $7 + 9吗?$

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的总和 $x +易$和 $7 + 9我$是

$(x+yi) + (-7 + 9i) = (x-7) + (y+9)i。$

如果 $x 7 = 0$和 $y + 9 = 0,$然后和等于加性单位，0。因此，的加性逆 $7 + 9我$是 $x + = 7-9i。$ $_ \广场$

它的乘法逆是什么 $3-4i吗?$

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的产物 $x +易$和 $3-4i$是

$(x+yi) (3-4i) = (3x+4y) + (-4x+3y)i。$

如果 $3 x + 4 y = 1$和 $4 x + 3 y = 0,$然后和等于乘法恒等式，1。

替换 $y = \压裂{4}{3}x$成 $3 x + 4 y = 1$给了

${对齐}3 x + 4 \ \开始离开(\压裂{4}{3}x \右)= & 1 \ \ \压裂{25}{3}x = x = & & 1 \ \ \压裂{3}{25}。结束\{对齐}$

替换 $x = \压裂{3}{25}$成 $y = \压裂{4}{3}x$给了 $Y = frac{4}{25}。$

因此，的乘逆 $3-4i$是 $X +yi = frac{3}{25}\ + frac{4}{25}i。$ $_ \广场$

找到条件 $x$和 $y$为 $(5-6i) (x +易)$纯粹是虚构的。

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的产物 $5-6i$和 $x +易$是

$5-6i (x+yi) = (5x+6y) + (-6x+5y)i。$

如果 $5 x + 6 y = 0,$实部等于0，所以乘积是纯虚数。