谐波数
调和数是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/harmonic-series/" class="wiki_link" title="调和级数gydF4y2Ba" target="_blank">调和级数
定义
属性
请注意,
积分表示
的积分表示
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H 在解析中,调和数出现在许多涉及特殊函数的表达式中<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/number-theory/" class="wiki_link" title="数论gydF4y2Ba" target="_blank">数论
请注意,
H 不存在整数 写 证据表明
H 很明显分母可以被 调和数没有上界,这有点令人吃惊。也就是说,对于任何实数 调和级数发散。 假设调和级数收敛,考虑下列级数:
k 在哪里 这个数列中的每一项都是正的,并且小于或等于调和数列中的相应项:
对于任何正整数 如果调和级数收敛,这个级数也收敛。 然而,这个级数不收敛。将相似项分组得到一个重复的和
k 这个级数发散的事实是一个矛盾。因此,谐波级数发散。 的整数值的表达式中出现调和数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/digamma-function/" class="wiki_link" title="双函数gydF4y2Ba" target="_blank">双函数
ψ 调和数用于定义<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/euler-mascheroni-constant/" class="wiki_link" title="欧拉-马歇罗尼常数gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉-马歇罗尼常数
γ 调和数用于基本的公式(由于Lagarias)<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/millennium-prize-problems/" class="wiki_link" title="黎曼假设gydF4y2Ba" target="_blank">黎曼假设 黎曼假设等价于这个陈述
σ 所有整数
的积分表示
H
( 这可以用来找到的交替级数表示
H
谐波数的母函数具有相对简单的封闭形式
n 为 我们有
n 使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/maclaurin-series/" class="wiki_link" title="麦克劳林级数gydF4y2Ba" target="_blank">麦克劳林级数
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