美术馆问题GydF4y2Ba

鉴于博物馆的布局，在博物馆中的每一点需要守卫需要什么守卫？这个问题，通常被称为GydF4y2Ba美术馆问题GydF4y2Ba，是几个区域的交叉点的问题的示例，包括几何，离散数学和优化。通过通过解决这个问题，人们可以探索来自数学不同地区的想法，看看这些想法如何结合起来解决现实世界问题！GydF4y2Ba

在指定地点放置四名警卫将守卫整个博物馆。GydF4y2Ba

首先，让我们在数学上定义我们的意思是保护博物馆。在这个问题中，警卫必须保持在固定位置，但能够通过旋转地看到每个角度。以数学方式代表这个问题GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$在博物馆是GydF4y2Ba可见GydF4y2Ba如果线段从一个保护点到另一个保护点GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$位于博物馆内或沿着边界。GydF4y2Ba

博物馆左边的警卫可以从他所处的位置看到所有的点。右边博物馆的守卫看不清墙(用黑色遮挡)，所以博物馆右下角没有守卫。GydF4y2Ba

我们将假设我们的博物馆有直墙，因此博物馆的地板计划是飞机中的多边形（此分析不适用于Frank Gehry的Guggenheim Museum Bilbao等博物馆）。多边形是GydF4y2Ba凸GydF4y2Ba如果整个线段在多边形中加入任何两个点，则在多边形中位于多边形中。让我们首先思考三角形，这是最简单的凸多边形。GydF4y2Ba

由于三角形是凸的，在博物馆的任何地方设置一个守卫，直线与博物馆中任何其他点之间的线段就在博物馆中。这适用于任何凸形状，因此任何凸多边形都可以由单个守卫来保护。相反的方向也是正确的吗?GydF4y2Ba

守卫一个平面为多边形的博物馆最少需要多少守卫GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$墙吗?注意，为了回答这个问题，我们需要显示GydF4y2Ba

• 保护守卫的位置，使得博物馆中的每一点都被守卫GydF4y2Ba
• 博物馆里守卫每一个点的警卫人数不会少。GydF4y2Ba

首先，我们定义楼层功能GydF4y2Ba $\ \ rfloor lfloor xGydF4y2Ba$对于任何实数GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$是小于或等于的最大整数GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$．把底函数考虑为舍入到最接近的整数。例如,GydF4y2Ba

$\lfloor 3.4 \rfloor = 3， \lfloor 5.9 \rfloor = 5， \lfloor 10 \rfloor = 10。GydF4y2Ba$

艺术画廊定理:GydF4y2Ba任何博物馆GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$墙最多只能被守卫GydF4y2Ba $\ lfloor \ frac {n} {3} \ rfloorGydF4y2Ba$守卫。GydF4y2Ba

这个问题是由1975年和下面的Vasek Chvatal解决的问题，我们将在1978年史蒂夫·斯蒂维斯克提供美丽的证据。事实上，FISK对本定理的证明是GydF4y2Ba建设性GydF4y2Ba，给出算法（或步骤序列），其告诉我们准确地放置警卫。为了表明定理的界限紧张，请考虑博物馆GydF4y2Ba $15.GydF4y2Ba$梳子形状的墙壁。GydF4y2Ba

然后守卫点GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$必须位于带顶点的阴影三角形内GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$，警卫点GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$必须位于带顶点的阴影三角形内GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$等。因为这些三角形至少没有重叠GydF4y2Ba $5.GydF4y2Ba$警卫是必要的。但是根据画廊定理，GydF4y2Ba $\ lfloor \ frac {15} {3} \ rfloor = 5GydF4y2Ba$警卫也足够了，我们可以通过将警卫放在每个阴影三角形的左下角。一般来说，梳博物馆布局给出了一个博物馆的一个例子GydF4y2Ba $3N.GydF4y2Ba$需要完全需要的墙壁GydF4y2Ba $\lfloor \frac{3n}{3} \rfloor = nGydF4y2Ba$守卫，表明定理中的界定是最好的。GydF4y2Ba

似乎发生了梳子博物馆的最坏情况例是因为有非常尖锐的“角度”限制了防护装置的放置。如果我们考虑墙壁在直角，创造的博物馆会怎么理GydF4y2Ba $90 ^ \ circGydF4y2Ba$角落？这些楼层规划对应于正交多边形，以及Kahn-Klawe-Kleitman，LubiW和Sack-Toussaint提供的三种证据表明总有一种配置GydF4y2Ba $\ lfloor \压裂{n} {4} \ rfloorGydF4y2Ba$守卫整个博物馆的守卫。GydF4y2Ba

计算几何的问题也很自然地出现在电子游戏编程中，通常需要基于虚拟世界进行计算，以创造真实的用户体验。想到一个游戏你发挥了虚拟世界和游戏必须解决的挑战,如检测物体发生碰撞时,代表虚拟世界的表面或地形,从您的输入检测运动游戏,确定对象的外观/能见度在您浏览这个世界。所有这些问题都涉及到计算几何、计算机图形学、计算机科学和算法。GydF4y2Ba

计算几何的其他应用包括GydF4y2Ba

• GPS的路线规划:确定位置、速度和方向GydF4y2Ba
• 集成电路设计GydF4y2Ba
• 设计和建立汽车，船舶和飞机等物体GydF4y2Ba
• 计算机视觉，用于确定视线和设计电影中的特殊效果GydF4y2Ba
• 机器人技术，用来规划运动和能见度GydF4y2Ba

我们将通过一系列权利要求证明本定理。首先，A.GydF4y2Ba三角测量GydF4y2Ba多边形的分解是通过在顶点对之间画不相交的对角线将多边形分解成三角形。GydF4y2Ba

1：GydF4y2Ba任何多边形GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$可以三角化。GydF4y2Ba

我们用这个数字的归纳法来证明这个说法GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$的顶点。为了GydF4y2Ba $n = 3.GydF4y2Ba$,多边形GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$是一个三角形，已经三角形了。为了GydF4y2Ba $n \组4GydF4y2Ba$，我们会找到一条对角线(即，一条线段位于GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$连接一对顶点），将多边形分成两个较小的部分。然后可以通过将两种不同部件的三角测量一起粘贴到整个多边形的三角测量。由于内部角度的总和GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $(n - 2) 180 ^{\保监会}GydF4y2Ba$，有一个顶点GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$的GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$内角度小于GydF4y2Ba $180 ^{\保监会}GydF4y2Ba$．让GydF4y2Ba $v，W.GydF4y2Ba$的相邻顶点GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$在多边形。如果是线段GydF4y2Ba $v，W.GydF4y2Ba$位于多边形内，那么这条线段就是所需的对角线。否则,三角形GydF4y2Ba $\三角形uvwGydF4y2Ba$包含其他顶点。移动线段GydF4y2Ba $v，W.GydF4y2Ba$对GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$直到到达最后一个顶点GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$在三角形GydF4y2Ba $\三角形uvwGydF4y2Ba$．然后是线段GydF4y2Ba $ux.GydF4y2Ba$位于多边形内，可以作为所需的对角线，证明了这一说法。GydF4y2Ba

我们的第二个索赔包括以下列方式着色三角形多边形的顶点：给定三角形多边形，aGydF4y2Ba三色GydF4y2Ba是顶点的着色，这样每个三角形都有3个不同颜色的顶点。GydF4y2Ba

2：GydF4y2Ba任何三角形多边形都是3可色的。GydF4y2Ba

我们将通过诱导多边形中的顶点数。为了GydF4y2Ba $n = 3.GydF4y2Ba$，多边形是三角形，我们可以为三个顶点选择三种不同的颜色。现在，考虑任何三角形多边形GydF4y2Ba $n> 3GydF4y2Ba$顶点。选择任何两个顶点GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $V.GydF4y2Ba$由对角线连接的(即，由三角剖分中的一条边连接，但不在原多边形中)。我们可以用边将多边形分割成两个三角多边形GydF4y2Ba $(u, v)GydF4y2Ba$并且通过诱导，两个三角形多边形是3可色的。让（红色，蓝色，绿色）是第一个三角测量中的颜色GydF4y2Ba $T_1GydF4y2Ba$,让GydF4y2Ba $(1、2、3)GydF4y2Ba$做第二次三角测量的颜色GydF4y2Ba $T_2GydF4y2Ba$．然后识别颜色GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$在第一次三角剖分时给号码标号GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$在第二三角测量中，并识别颜色GydF4y2Ba $V.GydF4y2Ba$在第一次三角剖分时给号码标号GydF4y2Ba $V.GydF4y2Ba$在第二三角测量中。最后，彼此相互识别两个三角形中的最后一个颜色。GydF4y2Ba

然后通过保留第一次三角剖分中所有顶点的颜色，并使用所确定的颜色，得到整个三角剖分的着色GydF4y2Ba $(1、2、3)GydF4y2Ba$对于第二次三角剖分中的顶点。这给出了整个三角形多边形的3色，并证明了权利要求2。GydF4y2Ba

3.索赔3：GydF4y2Ba对于三角剖分的任何三色，都存在一种颜色，使得这种颜色的顶点数为GydF4y2Ba $\ leq \ lfloor \ frac {n} {3} \ rfloorGydF4y2Ba$，并在这些顶点上放置防护装置将保护整个博物馆。GydF4y2Ba

不失一般性，假设顶点的颜色是红，绿，蓝这样的数GydF4y2Ba $R.GydF4y2Ba$小于或等于红色顶点的个数GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$绿色顶点，小于等于这个数GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$蓝色顶点。顶点总数是GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$， 所以GydF4y2Ba $r + g + b = n。GydF4y2Ba$如果GydF4y2Ba $R > \lfloor {n}{3} \rfloorGydF4y2Ba$， 然后GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$也会严格大于GydF4y2Ba $\ lfloor \压裂{n} {3} \ rfloor,GydF4y2Ba$和身份GydF4y2Ba $r + g + b = nGydF4y2Ba$不能满意。所以，GydF4y2Ba $R \leq \lfloor {n}{3} \rfloor。GydF4y2Ba$现在，通过将警卫放置在红色的每个顶点上，观察三角测量中的每个三角形都有一个红色节点，因此，恰好是一个防护装置。另外，任何时候GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$在博物馆中是包含在一个三角形中的三角形多边形，并且GydF4y2Ba $P.GydF4y2Ba$从红色三角形的顶点可见。这给出了一个最多的位置GydF4y2Ba $\ lfloor \ frac {n} {3} \ rfloorGydF4y2Ba$守卫整个博物馆，证明3.GydF4y2Ba

5.如权利要求1,2和3一起给出了艺术画廊定理的证据。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

因为有许多不同的三角法和三色法，所以可能有多种放置守卫的方法，但每一种选择的结果都是最多的GydF4y2Ba $\ lfloor \ frac {n} {3} \ rfloorGydF4y2Ba$守卫着整个博物馆。GydF4y2Ba