Forward-Backward感应

Forward-Backward感应是数学归纳法的一种变体。它有一个非常独特的归纳步骤，尽管它很少被使用，但它是一个完美的例子，说明归纳是多么灵活。它也被称为柯西感应奥古斯汀·路易斯·柯西用它证明了算术-几何-平均不等式。

言归正传，我们向您介绍正向逆向归纳法!

Forward-backward感应

• 一步 $1$:[基本情况]我们首先证明这个命题对整数成立 $n_0$．这和标准归纳法没什么不同。

• 一步 $2$:[归纳步骤]它由两部分组成。

  • $P (k) \ Rightarrow P (2 k)$:这是我们的“前进”部分。在这里你可以证明，如果这个命题对某个整数成立 $k$，这也是真的 $2 k。$

  • $P (k) \ Rightarrow P (k - 1)$:这是我们的“落后”部分。这里你证明了，如果这个命题对某个整数成立 $k$，那么它也适用于 $k - 1。$

完成步骤 $1$和 $2$证明该命题对所有正整数都成立 $n$．

花点时间想想为什么这个论点是有效的。归纳步骤的第一部分表明，对于越来越大的值，这个说法是正确的 $n$．但这中间留下了很多空白。第二部分确保所有的缺口都得到了处理。

另一种看待它的方式是通过多米诺骨牌类比。(多米诺骨牌是思考归纳法的好方法!)比如说，你有无限多的多米诺骨牌排列在一条线上。你证明了多米诺骨牌的一个非常有趣的性质。如果你撞倒了 $k$多米诺骨牌，出于某种奇怪的原因，所有的 $2 ^ n \ cdot k ^{\文本{th}}$多米诺骨牌被推倒。在你观察多米诺骨牌一段时间后，你证明多米诺骨牌是这样排列的，如果其中一个倒下，前面的那个也会倒下。现在，如果你推倒第一个多米诺骨牌，所有的多米诺骨牌(尽管它们很奇怪!)最终都会倒下。

说服自己，前后归纳法确实有效。然后继续阅读。

我们将通过柯西对AM-GM不等式的证明来了解前后归纳法的作用。AM-GM不等式说明一组非负实数的算术平均值不能小于它们的几何平均值。

换句话说，为 $ai在\ \ mathbb {R} _ {+}$

$\压裂{\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n ai} {n} \组\ sqrt [n] {\ displaystyle \ prod_ {i = 1} ^ n ai}。$

让我们开始吧!

AM-GM不等式:

我们的基本情况是 $n = 2$(因为 $n = 1$很简单)。

我们必须证明对于非负实数 $a_1$和 $a₂$， $\压裂{a₁+ a₂}{2}\组\ sqrt {a_1a_2}$．这并不难做到。从 $大概{a_1} - \ \√{a₂})^ 2 \组0$．结果马上就出来了。

对于归纳假设，我们假设不等式对某个整数成立 $k$．换句话说，我们有

$\压裂{\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ k ai} {k} \组\ sqrt [k] {\ displaystyle \ prod_ {i = 1} ^ k ai}。$

现在我们证明这个不等式成立 $2 k$：

${对齐}\ \开始dfrac {a_1 + a₂+ \ cdots +现代{2 k}} {2 k} & = \ dfrac {\ dfrac {a₁+ a₂+ \ cdots + a_k} {k} + \ dfrac{现代{k + 1} +现代{k + 2} + \ cdots +现代{2 k}} {k}}{2} \ \ & \组\ dfrac {\ sqrt [k] {a_1a_2 \ cdots a_k} + \ sqrt [k]{现代{k + 1}现代{k + 2} \ cdots现代{2 k}}}{2} \ \ & \组\√6 {\ sqrt (k) {a_1a_2 \ cdots a_k} \ sqrt [k]{现代{k + 1}现代{k + 2} \ cdots现代{2 k}}} \ \ & = \ sqrt (2 k) {a_1a_2 \ cdots现代{2 k}}。结束\{对齐}$

第一个不等式由 $k$-变量AM-GM，这是真的，因为我们的归纳假设，第二个不等式从 $2$-可变AM-GM，我们刚刚证明过。

第一部分已经完成。现在我们证明这个不等式成立 $k - 1$变量。

因为AM-GM不平等适用于任何情况 $k$正实数，当 $a_k = \ dfrac {a_1 + a₂+ \ cdots +现代{k - 1}} {k - 1}$．

我们有

${对齐}\ \开始压裂{a₁+ a₂+ \ cdots + a_k} {k} & \组\ sqrt [k] {a_1a_2 \ cdots a_k} \ \ \压裂{a_1 + a₂+ \ cdots +现代{k - 1} + \压裂{a_1 + a₂+ \ cdots +现代{k - 1}} {k - 1}} {k} & \组\ sqrt [k] {a_1a_2 \ cdots现代{k - 1} \ cdot \压裂{a_1 + a₂+ \ cdots +现代{k - 1}} {k - 1}} \ \ \压裂{a_1 + a₂+ \ cdots +现代{k - 1}} {k - 1} & \组\ sqrt [k] {a_1a_2 \ cdots现代{k - 1} \ cdot \压裂{a_1 + a₂+ \ cdots +现代{k - 1}} {k - 1}} \ \左(\ \压裂{a_1 + a₂+ \ cdots +现代{k - 1}} {k - 1} \右)^ k & \组a_1a_2 \ cdots现代{k - 1} \ cdot \压裂{a_1 + a₂+ \ cdots +现代{k - 1}} {k - 1} \ \ \离开(\压裂{a_1 + a₂+ \ cdots +现代{k - 1}} {k - 1} \右)^ {k - 1} & \通用电气a_1a_2 \ cdots现代{k - 1} \ \ \压裂{a_1 + a₂+ \ cdots +现代{k - 1}} {k - 1} & \通用电气\ sqrt (k - 1) {a_1a_2 \ cdots现代{k - 1}}。结束\{对齐}$

证明了的AM-GM不等式 $k - 1$变量。

我们已经证明了基本情况和归纳假设。因此，通过前后归纳法，AM-GM不等式对任何变量都成立。 $_ \广场$