偶函数与奇函数

偶函数和奇函数是满足某些性质的函数。这是一个强有力的概念;识别奇偶函数可以使一些看似棘手的积分问题变得微不足道。

偶函数函数满足 $F (x) = F (-x)$对所有 $x$．偶函数是关于直线对称的 $x = 0$．
奇怪的函数函数满足 $F (x) = -f(-x)$对所有 $x$．奇函数在原点上呈点对称。

一个函数可能既非奇也非偶。

这个函数 $f (x) = \ displaystyle \ dfrac {x} {1 - 2 ^ {x}} - \ dfrac {x} {2}$是 $\文本 {\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}.$

$\quad \text{A)}$偶而非奇
${B)}$奇数而非偶数
${C)}$偶数和奇数
${D)}$既不是偶数也不是奇数

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如果我们计算 $f (- x)$，得到:

$\{对齐}开始f (- x) & = \ dfrac {- x} {1 - 2 ^ {x}} - \ dfrac {- x} {2} \ \ & = \ dfrac {x - x \ cdot 2 ^} {2 x ^ 1} + \ dfrac {x} {2} \ \ & = \ dfrac {x} {1 - 2 x ^} - x + \ dfrac {x} {2} \ \ & = \ dfrac {x} {1 - 2 x ^} - \ dfrac {x} {2} \ \ & = f (x)。结束\{对齐}$

因此, $f (x)$是偶数，显然不是奇数，所以答案是选项 ${一}\文本$． $_ \广场$

偶函数和奇函数也可以通过它们的图形来识别——具体来说，偶函数的y轴是一条对称轴，而奇函数是围绕原点旋转对称的。例如，在坐标平面上取一点(a,b)使得函数f(x)是偶的，因此f(x) = f(-x) -如果(a,b)在图上，(-a,b)也是。奇函数可以围绕原点旋转180度，然后看起来是一样的，因此我们说奇函数是关于原点对称的。