轨迹方程

一个轨迹是满足一定几何条件的点的集合。许多几何形状最自然、最容易用轨迹来描述。例如，圆是平面上固定距离的点的集合 $r$从一个给定的点 $P,$圆心。

涉及描述某个轨迹的问题通常可以通过明确地找到轨迹上各点的坐标方程来解决。以下是寻找平面轨迹的逐步步骤:

步骤1:如果可能的话，选择一个能使计算和方程尽可能简单的坐标系。
步骤2:把给定的条件写成包含坐标的数学形式 $x$而且 $y$．
步骤3:简化得到的方程。
步骤4:找出由方程切出的形状。

步骤1通常是这个过程中最重要的部分，因为适当的坐标选择可以极大地简化步骤2-4的工作。

求出点的轨迹 $P$这样距离的平方和 $P$来 $一个$从 $P$来 $B,$在哪里 $一个$而且 $B$是平面上的两个不动点，是一个固定的正常数。

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在旋转平移平面后，我们可以假设 $= (- 0)$而且 $B =(0)。$假设常数是 $c ^ 2,$ $c \ 0。$然后

$\{对齐}开始PA ^ 2 + PB ^ 2 & = c ^ 2 \ \ (x + a) ^ 2 + y ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 & = c ^ 2 \ \ 2 x ^ 2 + y ^ 2 + 2 ^ 2 & = c ^ 2 \ \ x ^ 2 + y ^ 2 & = \压裂{c ^ 2}{2} - ^ 2。结束\{对齐}$

所以基因座要么是空的 $\大($如果 $c ^ 2 < 2 ^ 2 \大),$一个点 $\大($如果 $c ^ 2 = 2 ^ 2 \大),$或一个圆 $\大($如果 $c ^ 2 > 2 ^ 2 \大)。$

描述平面上与直线和不在直线上的不动点等距的点的轨迹。

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经过旋转和平移(可能还有反射)，我们可以假设点是 $(0, 2)$与 $一个东北\ 0$这条线是 $x$设在。的距离 $(x, y)$到 $x$设在是 $y | |,$到这个点的距离是 $\√6 {x ^ 2 + (y-2a) ^ 2},$所以方程变成了

$\{对齐}开始y ^ 2 & = x ^ 2 + (y-2a) ^ 2 \ \ 0 & = x ^ 2-4ay + 4 y ^ 2 \ \ & = \压裂{x ^ 2}{4} +一个结束\{对齐}$

它描述了抛物线。

注意，如果点确实在直线上，例如: $一个= 0,$方程化简为 $x ^ 2 = 0,$或 $x = 0,$它给出了一条与原直线垂直的直线;这在几何上也有意义。 $_ \广场$

求出所有点的轨迹 $P$在一个平面上，距离的和 $巴勒斯坦权力机构$而且 $PB$是固定常数，在哪里 $一个$而且 $B$是平面上的两个不动点。

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平移和旋转之后，我们可以假设 $= (- 0)$而且 $B = (0)$让常数不变 $c。$如果 $c < 2,$那地点显然是空的，如果 $c = 2,$那么轨迹是一个点，假设 $c > 2。$让 $PA = d_1$而且 $PB = d_2。$然后 $d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2 = (x + a) ^ 2 + y ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 = 2 x ^ 2 + y ^ 2 + 2 ^ 2,$而且 $ax d_1 ^ 2-d_2 ^ 2 = 4。$轨迹方程是

$\{对齐}开始d_1 + d_2 & = c \ \ d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2 + 2 d_1d_2 & = c ^ 2 \ \ 4 d_1 ^ 2 d_2 ^ 2 & = \大(c ^ 2-d_1 ^ 2-d_2 ^ 2 \大)^ 2 \ \ 4 d_1 ^ 2 d_2 ^ 2 & = c ^ 4 - 2 c ^ 2 \大(d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2 \大)+ \大(d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2 \大)^ 2 \ \ 0 & = c ^ 4-2c ^ 2 \大(d_1 ^ 2 + d_2 ^ 2 \大)+ \大(d_1 ^ 2-d_2 ^ 2 \大)^ 2 \ \ 0 & = c ^ 4-2c ^ 2 \大(2 x ^ 2 + y ^ 2 + 2 ^ 2 \大)+ 16 ^ 2 x ^ 2 \ \ \大(4 c ^ 2-16a ^ 2 \大)x ^ 2 + \大(4 c ^ 2 \大)y ^ 2 & = c ^ 2 \大(c ^ 2-4a ^ 2 \大)。结束\{对齐}$

自 $4 c ^ 2-16a ^ 2 > 0$而且 $c ^ 2-4a ^ 2 > 0,$这是一个椭圆的方程。 $_ \广场$

注意,如果 $一个= 0,$正如预期的那样，这描述了一个圆 $(一个$而且 $B$一致 $）.$