平方根总是相乘吗?

这是关于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/common-misconceptions/" class="wiki_link" title="常见的误解" target="_blank">常见的误解．

真或假?

对于所有实数 $一个$ 和 $b,$

$√{a}乘以√{b} =√{ab}。$

为什么有些人认为这是真的:
由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/simplify-exponents/" class="wiki_link" title="规则的指数" target="_blank">规则的指数， $大概{}\ \ * \ sqrt {b} = ^{\压裂{1}{2}}\ b ^{\压裂{1}{2}}= \离开(ab \右)^{\压裂{1}{2}}= \ sqrt {ab}。$ 这似乎是积极的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数" target="_blank">实数；例如,如果 $一个= 4$ 和 $b = 9,$ 然后 $根号{4}乘以根号{9}= 2乘以3 = 6，$ 就像 $根号{4 × 9} =根号{36}=6。$

为什么有些人说它是错误的:
除了正实数，还有其他情况需要考虑。在其他情况下，这种“身份”可能会失败。

这句话是 $颜色\ {# D61F06} {\ textbf{假}}$ ．特别是, $√{a}乘以√{b} =√{ab}$ 是真的除非 $一个$ 和 $b$ 都是消极的．

证明:
当 $x \通用电气0,$ 根是相当简单的，但请记住 $大概{\ \ cdot}$ 操作符是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/function-terminology/" class="wiki_link" title="函数" target="_blank">函数它只给出一个值。例如, $√4 = 2。$ 然而,当 $x < 0,$ 没有一个实数的平方是 $x。$ 因此,当 $x < 0,$ 我们定义 $大概{x} =我\ \ sqrt {x},$ 在哪里 $i = \ sqrt {1}$ (<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/imaginary-unit/" class="wiki_link" title="虚数单位" target="_blank">虚数单位）.例如, $\根号{-4}= 2。$

首先，让我们看看什么时候会发生一个的 $一个$ 或 $b$ 是负的。例如,如果 $颜色\ {# D61F06} {} < 0$ 和 $颜色\ {# 20 a900} {b} > 0,$ 然后 $大概{\颜色\ {# D61F06}{一}}\ * \√6{\颜色{# 20 a900} {b}} =我\√6{- \彩色{# D61F06}{一}}\ * \√6{\颜色{# 20 a900} {b}}。$ 自 $-颜色\ {# D61F06}{一}> 0$ 和 $颜色\ {# 20 a900} {b} > 0$ ，我们可以把这些平方根相乘得到

$大概{——我\ \颜色{# D61F06}{一}}\ * \√6{\颜色{# 20 a900} {b}} =我\√6 {- {# D61F06}{} \ \颜色* \颜色{# 20 a900} {b}}。$

然后,自 $\color{#D61F06}{a} \times \color{#20A900}{b} < 0，$ 我们有 $大概{\颜色\ {# D61F06}{} \ * \颜色{# 20 a900} {b}} =我\√6 {- {# D61F06}{} \ \颜色* \颜色{# 20 a900} {b}},$ 所以两边相等!

但是，我们也需要检查什么时候会发生这两个 $一个$ 和 $b$ 是负的。在这种情况下,

$大概{}\ \ * \ sqrt {b} =我大概{a} \ \ * \ sqrt {b} =我^ 2 \ sqrt {ab} = - \√{ab}。$

另一方面，自从 $一个$ 和 $b$ 都是负的, $ab > 0。$ 因此,

$大概{}\ \ * \ sqrt {b} = -大概{ab} \ \颜色\ {# D61F06} {\ ne} \ sqrt {ab},$

因此,声明不适用。 $_ \广场$

反驳:我们真的需要取平方根吗之前乘以被开方数?
回答:是的!根号本质上是a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fractional-exponents/" class="wiki_link" title="分指数" target="_blank">分指数，我们首先要考虑指数，根据<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-operations/" class="wiki_link" title="订单的操作" target="_blank">订单的操作．

反驳:为什么“等式两边同时平方”行不通呢?
回答:记住 $x ^ 2 = y ^ 2$ 不暗示 $x = y。$ 而 $左\ \√大概{b}{} \ * \ \右)^ 2 = \离开(大概{ab} \ \右)^ 2,$ 这并不意味着 $大概{}\ \ * \ sqrt {b}$ 必须等于 $\ sqrt {ab}。$

反驳:我的老师告诉我的 $√{a}乘以√{b} =√{ab}。$
回答:好吧，希望你的老师提到这只在某些情况下是正确的!特别是，当 $一个$ 和 $b$ 都是正的，这是你经常遇到的方程。如果恰好是其中之一，也是正确的 $一个$ 或 $b$ 是负数，但当两者都是负数时，则为false，如上所示。

反驳:我们为什么要这么说 $√{-x} = I \√{x}$ 为 $x < 0 ?$ 我们不能设置 $\ sqrt {- x} = - i \ sqrt {x}$ 吗?例如, $\左(2 i \右)^ 2 = 4。$
回答:不!记住,对 $x \通用电气0,$ $\ sqrt {x}$ 定义为非负的平方为的数 $x。$ 类似地，惯例是，for $x < 0,$ $\ sqrt {x}$ 被定义为 $\ sqrt {1}$ 倍非负的平方为的数 $- x。$
请注意, $大概{\ \ cdot}$ 是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/function-terminology/" class="wiki_link" title="函数" target="_blank">函数，因此定义每个输入有一个输出是很重要的。如果我们不使用这些约定，将会出现许多复杂的问题(这些问题将在复杂分析中得到解决)!

想确定你已经理解了这个概念吗?试试这些问题:

另请参阅

有关……