交叉相乘对不等式总是有效吗?

真或假?

对于所有实数 $a, b, c, d$ 与 $b$ 而且 $d$ 零,如果 $\dfrac ab > \dfrac CD$ ,然后 $A \ d > \ c \ b$ 必须是真实的。

为什么有人说这是真的:
这看起来很直观，对于这个问题，交叉相乘等于两边乘以 $b \ * d$ ．然后 $\dfrac {\cancel b} \times \cancel bd > \dfrac {\cancel d} \times b \cancel d，$ 这意味着 $A \ d > \ c\ b$ ．

为什么有人说这是错误的:
除了正实数，还有其他情况需要考虑。在其他情况下，这种“身份”可能会在其中一种情况下失败 $b, d$ 是负的。

这句话是 $颜色\ {# D61F06} {\ textbf{假}}$ ．当且仅当分母同时为正或负时，此断言为真。特别是,对 $a = b = c = 1$ 而且 $d = 1$ ，而约束为 $\dfrac ab > \dfrac CD$ 是真的应验了吗 $A \ d > \ c\ b$ 是假的,因为 $1 > 1$ 是不正确的。

我们最初的断言失败的原因是，一旦我们在不等式两边同时乘以一个负数，不等号一定会翻转。作为一个明显的例子，不等式 $1 > 2$ 显然是正确的。但是如果我们两边同时乘以 $－1$ ，同时保持不等号不变，我们有 $1 > 2,$ 这显然是错误的。

反驳:因为 $a = b = c = 1$ 而且 $d = 2$ 让两个 $\dfrac ab > \dfrac CD$ 而且 $A \ d > \ b\ c$ 真实的。

回答:我们只证明了当 $a = b = c = 1$ 而且 $d = 2$ ．事实上，我们应该证明(或反驳)它总体上是正确的。也就是说，我们没有证明该索赔成立所有实数 $a, b, c$ 而且 $d$ 与 $b, d \ 0$ ．

反驳:不等式两边平方，得到 $\ dfrac {^ 2} {b ^ 2} > \ dfrac {c ^ 2} {d ^ 2}$ ．然后我们可以两边交叉乘以 $b 2 d ^ ^ 2$ ，这是一个正数，所以不等号不需要改变。因此 $A ^2 d^2 > b^2 c^2$ ．取平方根就得到了想要的结果， $A \ d > \ b \ c$ ．

回答:回想一下, $\ sqrt {x ^ 2} = | | x$ ．所以开平方根只能得到 $|ad | > |bc |$ ,而不是 $广告公元前>$ ．

想确定你已经把这个概念记下来了吗?试试这些问题:

0 < \frac{a+c}{b+d} < \frac{a}{b}

c \压裂{}{d} < \压裂{a + c} {b + d}

无法确定

\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}

你应该知道

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} ne \frac{a+c}{b+d}。$

然而,如果 $A, b, c, d$ 满足正整数吗 $< \ \压裂{一}{b}压裂c {} {d},$ 我们能说些什么呢 $c \压裂{+}{b + d} ?$

\frac{a+c}{b+d} < \frac{a}{b} < \frac{c}{d}

\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}

\frac{a}{b} < \frac{c}{d} < \frac{a+c}{b+d}

其他的都不是

$\压裂{一}{b} < \压裂{c} {d}$

如果 $A, b, c, d$ (是实变量)满足上述不等式，我们能说什么

$c \压裂{+}{b + d} ?$

有关……