直接的变化

当我们说一个变量正比作为另一个变量，或者是直接成比例的对于另一个变量，我们的意思是该变量的变化与另一个变量的增长比例相同。同样，如果一个变量减少，那么另一个变量也会以同样的速度减少。这是最基本的相关性类型，可以应用于大量的日常生活情况。

例如，如果Aaron每小时工作10美元，那么他的工资与他工作的时间直接成比例。如果他做两倍的工作，那么他的薪水就会加倍。如果他变得懒惰，工作时间是上个月的90%，那么他这个月的工资将比上个月减少10%。

这种相关性可以表示为一个通过原点的线性函数，其方程为这种形式 $y = kx ~ (k > 0)。$我们考虑的两个变量是 $x$和 $y,$而 $k$被称为不断的变化．如果我们让 $y$是亚伦的工资(美元) $x$是他工作的小时数，那么我们可以把等式设为 $y = kx,$变化常数在哪里 $k$每小时10美元。

注意这个常数 $k,$哪个是曲线的斜率，代表多少 $y$根据不同 $x。$如果 $k$很大,那么 $y$大幅度地增加或减少 $x$增加或减少。相反,如果 $k$非常小，是吗 $y$几乎没有改变 $x$的变化。因此, $k$等于变化率，是吗 $\压裂{\δy}{\δx} = k,$在哪里 $\δy$表示 $y$和 $\δx$是 $x。$

常数 $k$也代表比率 $y$和 $x。$观察到 $y = kx$可以重写为 $\压裂{y} {x} = k,$这意味着 $y: x = k: 1。$

总之，直接变异具有以下属性:

• 它可以用线性方程表示 $y = kx。$
• 变化率 $\压裂{\δy}{\δx}$等于 $k。$
• 这一比率 $\压裂{y} {x}$也总是等于 $k。$

如果 $y$成正比 $x,$和 $x = 15$当 $y = 10,$描述这种直接变化的方程是什么?

---

如果 $y$成正比 $x,$然后根据定义 $y$以相同的因素变化 $x$各不相同。换句话说, $y$和 $x$总是有相同的比率: $\ displaystyle \压裂{y} {x} = k,$在哪里 $k$为非零变分常数。

对于这个问题，我们有 $k = \ \ displaystyle压裂{y} {x} = \压裂{10}{15}= \压裂{2}{3}。$因此，方程为 $\ displaystyle y = \压裂{2}{3}x。$ $_ \广场$

如果 $y$成正比 $x,$和 $y = -21$当 $x = 15,$然后是什么 $y$当 $x = -25 ?$

---

观察变化常数为 $k = \ \ displaystyle压裂{y} {x} = \压裂{-21}{15}= - \压裂{7}{5}。$则直接变分方程为 $\ displaystyle y = - \压裂{7}{5}x。$替换 $x = -25$这给了 $y = - \压裂{7}{5}\ *(-25)= 35。\ _ \广场$

如果 $y$成正比 $x ^ 3,$和 $y = 24$当 $x = 2时,$然后是什么 $x$当 $y = 3 ?$

---

让 $y = kx ^ 3$是描述这个直接变化的方程，然后代入 $(24)$代入方程，得到变分常数 $k$如下:

$24=k乘以2^3，右边k=3。$

因此,用 $y = 3$入方程 $y = 3 x ^ 3$给了

$\{对齐}开始y = 3 x ^ 3 \ \ 3 & = 3 x ^ 3 x ^ 3 & = 1 \ \ \ \ x = 1。\ _\square \qquad (\text{since} x \text{must be a实数})\end{aligned}$

如果 $z$成正比 $x$和 $y,$和 $z = 30$当 $x = 2$和 $y = 3,$然后是什么 $z$当 $x = \压裂{1}{2}$和 $y = \压裂{1}{3}?$

---

让 $z = kxy$是描述这个直接变化的方程，然后代入 $(2、3、30)$代入方程，得到变分常数 $k$如下:

$30=k * 2 * 3 *右k=5。$

因此,用 $x = \压裂{1}{2}$和 $y = \压裂{1}{3}$入方程 $z = 5 xy,$我们有

$\{对齐}开始z = 5 xy \ \ & = 5 \离开(\压裂{1}{2}\)\离开(\压裂{1}{3}\)\ \ & = \压裂{5}{6}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

瑞秋以每小时50英里的恒定速度开车。如果她开两个半小时，她开的总距离是多少?

---

由于她的速度是恒定的，行驶的距离直接随时间而变化。让 $x$表示时间(以小时为单位)和 $y$是旅行的距离。由于汽车每小时跑50英里，我们可以把等式设为 $y = 50 x。$因此答案是 $正确\ left.y \ | _ {x = 2.5} = 50 \ times2.5 = 125$英里。 $_ \广场$