微分方程- dy/dx = f(x)
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\(\frac{dy}{dx}=f(x)\)这种形式的微分方程很常见，也很容易求解。下面展示了如何做到这一点:
步骤1
首先，我们在两边同时乘以\(dx\)得到\ [dy = f (x) ~ dx。\]
步骤2
然后对两边积分得到\[开始\{对齐}\ int dy = \ int f (x) ~ dx \ \ y + C ' & = \ int f (x) ~ dx \ \ \ Rightarrow y = f (x) \ int ~ dx,结束\{对齐}\]
其中\(C'\)是\(\int dy.\)的积分常数，我们可以忽略\(C'\)，因为另一个积分常数\(C\)隐藏在\(\int f(x)~dx.\)
因此，我们可以得出如果\(\frac{dy}{dx}=f(x)，\)那么\(y=\int f(x)~dx+ c \)
找到\ (y \) \ (x \) \而言(\压裂{dy} {dx} = x \)。
我们有
\[开始\{对齐}\压裂{dy} {dx} & = x \ \ dy = x ~ dx \ \ \ int dy = \ int x ~ dx \ \ y = \压裂{1}{2}x ^ 2 + C。\ _\square \end{align}\]
找到\ (y \) \ (x \) \而言(\ dfrac {dy} {dx} = \压裂{x} {\ sqrt {x ^ 2 + 9}} \)和\ (y(4) = 2。\)
我们有
\[开始\{对齐}\压裂{dy} {dx} & = \压裂{x} {\ sqrt {x ^ 2 + 9}} \ \ dy = \压裂{x} {\ sqrt {x ^ 2 + 9}} dx \ \ \ int dy = \ int \压裂{x} {\ sqrt {x ^ 2 + 9}} dx \ \ y = \ sqrt {x ^ 2 + 9} + C。结束\{对齐}\]
将\(y(4)=2\)代入
\[2 = \√{4 ^ 2 + 9}+ C = 5 + C \ Rightarrow C = 3, \]
因此我们的答案是
\ [y = \ sqrt {x ^ 2 + 9} 3。广场\ _ \ \]
参考文献
编辑:收购PHH厄瓜多尔基本差异和前沿条件问题作者:C.H Edwards, David Penney