向量的不同表示

向量很简单:它们是在空间中有长度和方向的物体。例如，我相对于地球中心的3D位置是一个矢量，因为它有长度(我到中心的距离)，以及方向(我相对于中心的方向)。当我骑自行车时，一个向量可以用来描述我行进的速度和方向，它叫做我的速度， $vec {v} \$．

另一方面，温度不是矢量。虽然温度在每一点上都有大小，但它没有方向，大小不能作为任何东西的长度。它只是在空间的每一点上定义的一个数字(对于热心的读者来说，技术术语是a标量场）.

然而，并不是每个长度和方向的组合都是矢量。例如，我们可以说 $vec {b} \ _1$表示我朝这个方向看的书的数量 $\theta = 0^\circ$,而 $vec {b} _2 \$表示我朝这个方向看的书的数量 $\θ= 90 ^ \保监会$．然而，如果我阅读 $X$面对书籍 $\θ= 0 ^ \保监会$然后阅读 $Y$面对书籍 $\θ= 90 ^ \保监会$读书，不等于读书 $Z$书籍，同时面对一些新的方向。事实上，没有办法以一种有意义的方式组合这些对象。

另一方面，如果我走1米 $x$方向，其次为1米 $y$方向，显然是相同的结果，如果我走 $\ sqrt {2}$方向是M $\theta = 45^\circ$．有一种直接的方法可以将两个位移组合成一个有意义的整体位移。这个性质对于物理中的向量是很重要的。

表示向量的常用方法之一是用笛卡尔坐标系来定义它。我们来测量我的东西位置 $x$坐标，我的南北位置 $y$坐标。例如，如果我向一只熟睡的大象的东边走1米，我们可以用 $\vec{p}_1 =\角度1,0 \范围$．如果我向他的北方走1米，这个运动可以用 $\vec{p}_2 = \rangle 0,1 \rangle$．

向量加法

如果这个表示是一致的，我们最好能够用向量表示我相对于睡着的大象的整体位置 $P_ \textrm{total} = \rangle 1,1 \rangle$．

事实上，我们看到，要得到总体位移，我们可以简单地加上 $x$而且 $y$两个向量的分量，即

$\begin{aligned} \vec{p}_ textrm{total} &= \vec{p}_1 + \vec{p}_2 \\ &= \langle x_1, y_1 \rangle + \langle x_2, y_2 \rangle \\ &= \langle x_1 + x_2, y_1 + y_2 \rangle \\ &= \langle 1,1 \rangle， \end{aligned}$

它实际上等于总体位置。这给了我们一个简单而一致的方法来在笛卡尔表示中添加向量。我们简单地把向量按分量相加。

矢量的另一种常用表示是极坐标系统 $左(r,θ\ \ \右)$来确定我们相对于大象的位移。例如，在 $vec {p} _2 \$，当我们站在熟睡的大象以北1米时，我们在 $\vec{p}_2 = \left(1,90^\circ\right)$，也就是说，我们站在距离原点1米的角度 $\theta = 90^\circ$到原点。我们看到 $\ langle 0,1 \捕杀$而且 $\左(90 ^ \保监会\右)$是完全等价的。

类似地，我们可以表示 $\vec{p}_1 = \角度1,0 \范围$通过 $\左(1 0 \右)$．

极坐标下矢量加法的计算

如果我们按顺序进行这两个动议，我们预计会达到 $vec {p} _ \ \ textrm{总}= \大(45 \ sqrt{2} ^ \保监会\大)$．显然，要在极坐标系统中组合向量，我们不能简单地相加 $r_1 + r_2$得到 $r_ \ textrm{总}$或 $\ \ theta_2 theta_1 +$获得 $总额\ theta_ \ textrm {}$．

我们回想一下极坐标和笛卡尔坐标之间的变换。如果 $x, y, rangle$是向量的笛卡尔表示，和 $左(r,θ\ \ \右)$是极坐标表示，是这样吗

$\begin{aligned} x &= r\cos\theta \ y &= r\sin\theta。结束\{对齐}$

类似地，我们可以使用反向变换映射回:

${对齐}\θ& = \ \开始tan ^{1} \压裂{y} {x} \ \ r & = \√6 {x ^ 2 + y ^ 2}。结束\{对齐}$

添加向量极坐标表示的一种方便方法是映射到笛卡尔坐标系，执行加法，然后映射回极坐标坐标系。

这是成立的 $vec {p} _ \ \ textrm{总}$：

$\begin{aligned} \left(1,90^\circ\right) &\rightarrow \langle 0,1 \rangle \\ \left(1,0^\circ\right) &\rightarrow \langle 1,0 \rangle \\ \vec{p}_1 + \vec{p_2} &= \langle 1,1 \rangle。结束\{对齐}$

这相当于

$\begin{aligned} r &\rightarrow \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \\ \theta &\rightarrow \tan^{-1} 1 = 45^\circ， \end{aligned}$

屈服 $大\ \√{2},45岁^ \保监会\大)$如我们所料。

笛卡尔坐标系的优点之一是向量可以很容易地加起来，而在极坐标坐标系中就有点不自然了。然而，每一种都有它的位置，在极地系统中工作通常要简单得多。

尽管在一种或另一种表示中工作很方便，但重要的是要意识到它们只是用于操作的工具。向量独立于表示本身而存在。这意味着矢量计算的结果不能依赖于用于计算的坐标系，这一事实在圆周运动、相对论和后来的物理学中非常有用。