指数函数的衍生物GydF4y2Ba

为了区分指数函数GydF4y2Ba

$f（x）= a ^ x，GydF4y2Ba$

我们不能使用电量规则，因为我们要求指数是固定的数字，并且基础是变量。相反，我们将不得不从衍生品的定义开始：GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} f'（x）＆= \ lim_ {h \ ligharrow 0} \ dfrac {f（x + h） - f（x）} {h} \\＆= \ lim_ {h \ lightarrow 0}\dfrac{a^{x + h} - a^x}{h}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{a^x a^h - a^x}{h}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{a^x \big(a^h - 1\big)}{h}. \end{aligned}$

注意GydF4y2Ba $一个^ x.GydF4y2Ba$不受限制的影响，因为它没有任何影响GydF4y2Ba $HGydF4y2Ba$在它中，就我们而言，这是不变的。因此，我们可以因素超出限制。这给了GydF4y2Ba

$f'（x）= a ^ x \ displaystyle \ lim_ {h \ lightarrow 0} \ dfrac {a ^ h -1} {h}。GydF4y2Ba$

现在，请注意，我们上面的限制正是衍生的定义GydF4y2Ba $f（x）= a ^ xGydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $x = 0.GydF4y2Ba$， IE。GydF4y2Ba $f'（0）GydF4y2Ba$。因此，衍生物成为GydF4y2Ba

$f'（x）= f'（0）a ^ x。GydF4y2Ba$

请注意，其中一个定义GydF4y2Ba $E.GydF4y2Ba$这是它是唯一的正数GydF4y2Ba $\ lim_ {h \ lightarrow 0} \ frac {e ^ h - 1} {h} = 1GydF4y2Ba$。这正是我们想要的。GydF4y2Ba

只要我们使用自然指数，我们得到以下内容：GydF4y2Ba

$f（x）= e ^ x \暗示f'（x）= e ^ x。GydF4y2Ba$

对所有人GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$但是，我们必须先将它转换为GydF4y2Ba

$a = e ^ {\ ln {a}}。GydF4y2Ba$

现在，我们可以执行以下操作：GydF4y2Ba

$f（x）= a ^ x = \ big（e ^ {\ ln {a}} \ big）^ x = e ^ {x \ ln {a}}。GydF4y2Ba$

从我们以前的结果GydF4y2Ba $f'（x）GydF4y2Ba$ $（GydF4y2Ba$还记得那个GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$是恒定的，这使得GydF4y2Ba $\ ln {a}GydF4y2Ba$持续的GydF4y2Ba $），GydF4y2Ba$我们得到了GydF4y2Ba

$f'（x）= e ^ {x \ ln {a}}（\ ln {a}）= a ^ x \ ln {a}。GydF4y2Ba$

总结，GydF4y2Ba $\盒装{\ frac {d} {dx}（e ^ x）= e ^ x}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\盒装{\ frac {d} {dx}（a ^ x）= a ^ x \ ln a}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

区分GydF4y2Ba $e ^ {2x}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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使用GydF4y2Ba连锁规则GydF4y2Ba和GydF4y2Ba $f（x）= e ^ xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $g（x）= 2xGydF4y2Ba$，我们得到GydF4y2Ba $f \ ricc g（x）= f（2x）= e ^ {2x}GydF4y2Ba$。我们计算出来GydF4y2Ba $f'（x）= e ^ xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $g'（x）= 2GydF4y2Ba$。因此，GydF4y2Ba

$（f \ circ g）'（x）= \ big（f'\ circ g（x）\ big）\ times g'（x）= f'（2x）\ times 2 = 2 e ^ {2x}。GydF4y2Ba$

因此，衍生物GydF4y2Ba $e ^ {2x}GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $2 e ^ {2x}GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

区分GydF4y2Ba $2 ^ xGydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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我们首先转化为基础GydF4y2Ba $E.GydF4y2Ba$如下：GydF4y2Ba

$2 ^ x = \左（e ^ {\ ln 2} \右）^ x = e ^ {x \ ln 2}。GydF4y2Ba$

接下来，我们使用链条规则GydF4y2Ba $f（x）= e ^ xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $g（x）= x \ ln 2GydF4y2Ba$获得GydF4y2Ba

$（f \ circ g）''（x）=（f'\ circ g）（x）\ times g'（x）= \ ln 2 \ times e ^ {x \ ln 2} = \ ln 2 \ times 2 ^X。GydF4y2Ba$

因此，衍生物GydF4y2Ba $2 ^ xGydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $\ ln 2 \ times 2 ^ xGydF4y2Ba$。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

找到衍生物GydF4y2Ba $f（x）= e ^ x（x ^ 2 + 1）。GydF4y2Ba$

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让GydF4y2Ba $u = e ^ xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v = x ^ 2 + 1GydF4y2Ba$以便GydF4y2Ba $f（x）= uvGydF4y2Ba$。然后GydF4y2Ba $你'= e ^ xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v'= 2x。GydF4y2Ba$

作为GydF4y2Ba $f（x）= uv，GydF4y2Ba$我们得到那个GydF4y2Ba $f'（x）= uv'+ U'V，GydF4y2Ba$这意味着GydF4y2Ba

$f'（x）= e ^ x（2x）+（x ^ 2 + 1）e ^ x = e ^ x（x ^ 2 + 1 + 2x）= e ^ x（x + 1）^ 2。\ _\正方形GydF4y2Ba$

找到衍生物GydF4y2Ba $f（x）= xe ^ x \ sin x。GydF4y2Ba$

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让GydF4y2Ba $U（x）= x，v（x）= e ^ x，GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $w（x）= \ sin xGydF4y2Ba$以便GydF4y2Ba $f（x）= u（x）v（x）w（x）GydF4y2Ba$。然后GydF4y2Ba $U'（x）= 1，v'（x）= e ^ x，w'（x）= \ cos x。GydF4y2Ba$

现在，GydF4y2Ba

$\开始{对齐} F（X）＆= U（x）的\ CDOT V（x）的\ CDOT W（x）的\\\\ \ RIGHTARROW F '（X）= U'（X）V（x）的瓦特（x）+ u（x）v'（x）w（x）+ u（x）v（x）w'（x）\\＆= xe ^ x \ cos x + xe ^ x \ sin x + e^ x \ sin x \\＆= e ^ x（x \ cos x + x \ sin x + \ sin x）。\ _ \ square \ END {对齐}GydF4y2Ba$

找到衍生物GydF4y2Ba $f（x）= 5 ^ x + x ^ 3e ^ x。GydF4y2Ba$

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写GydF4y2Ba $U（x）= 5 ^ xGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v（x）= x ^ 3e ^ xGydF4y2Ba$以便GydF4y2Ba $f（x）= u（x）+ v（x）GydF4y2Ba$。然后GydF4y2Ba $U'（x）= 5 ^ x \ cdot \ ln 5GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $v'（x）= \ big（3x ^ 2 \ big）e ^ x + x ^ 3（e ^ x）= x ^ 2e ^ x（3 + x）GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

现在，GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} f（x）＆= u（x）+ v（x）\\\\ \ lightarrow f'（x）＆= u'（x）+ v'（x）\\＆= 5 ^x \ cdot \ ln 5 + x ^ 2e ^ x（x + 3）。\ _ \ square \ END {对齐}GydF4y2Ba$

如果GydF4y2Ba $f（x）= 7 ^ {x ^ 3 + 3x}GydF4y2Ba$为了GydF4y2Ba $x> 0，GydF4y2Ba$然后找到GydF4y2Ba $f'（x）GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

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写GydF4y2Ba $U（x）= x ^ 3 + 3xGydF4y2Ba$以便GydF4y2Ba $f（x）= 7 ^ {u（x）}GydF4y2Ba$。然后GydF4y2Ba $U'（x）= 3x ^ 2 + 3GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

现在，GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} f（x）＆= 7 ^ {u（x）} \\\\ \ lightarrow f'（x）＆= \ big（7 ^ {u（x）} \ cdot \ ln 7 \ big）\ cdot u'（x）\\＆= 3（x ^ 2 + 1）\ big（7 ^ {x ^ 3 + 3x} \ cdot \ ln 7 \ big）。\ _ \ square \ END {对齐}GydF4y2Ba$