反证法
证明通过矛盾 " 小说中的夏洛克·福尔摩斯 要用矛盾来证明一个陈述,首先假设你想要证明的东西的反面。然后证明这个前提的结果是不可能的。这意味着你的原始陈述必须是真实的。 证明没有最大的数字。 假设最大数量 考虑这个数字<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
哈代(G. H. Hardy)称矛盾证明是“数学家最精良的武器之一”,他说,“这是一个比任何国际象棋的开局都要好得多的开局:棋手可以牺牲一个小卒,甚至一块棋子,但数学家提供的是游戏。”
用矛盾写出证明
当在可能性之间存在二元选择时,经常使用矛盾证明:
不是理性的就是非理性的。 有无穷多个素数或有限多个素数。 切对圆的线垂直于包含切线点的圆的半径,或者它不是。 当写一个矛盾证明时,你需要知道哪种可能性是正确的。 一个嫌疑人<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
是不合理的,因为在平方时似乎没有任何理性的数字,等于2。 人们怀疑质数是无限多的,因为尽管质数很少,但似乎总能找到更多。 有人怀疑,圆的切线总是垂直于半径,因为画出来的时候总是这样。 矛盾过程证明 否定的结论 分析这个前提的结果 寻找矛盾 一旦发现一个矛盾,证明就完成了。你可以得出结论,你试图证明的是正确的。 用反证法证明公式或方程不是很有用。矛盾证明需要一个 然而,用矛盾来证明
数论
反证法在数论中很常见,因为许多证明都需要在可能性之间进行某种二元选择。 证明<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
是<一个href="http年代://www.parkandroid.com/wiki/irrational-numbers/" class="wiki_link" title="非理性"t一个rget="_blank">非理性 假设<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
是理性的。如果它是有理数,它可以表示为两个协素数之比<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
和<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
.自<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
和<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
是互质, 如果<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
证明至少没有积极的<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/rational-numbers/">有理数 假设有
请注意 证明有<一个href="http年代://www.parkandroid.com/wiki/infinitely-many-primes/" class="wiki_link" title="无限的许多素数"t一个rget="_blank">无限的许多素数 假设质数是有限的。然后就可以列出所有的质数,按顺序排列:
在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
证明理性数量和非理性数量是非理性的。 假设理性数量和非理性数量是合理的。第一个有理数可以表示为<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
代数
如果<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex"> ,<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex"> 和<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex"> 都是奇整数吗,证明一下<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
证明<一个href="http年代://www.parkandroid.com/wiki/harmonic-series/" class="wiki_link" title="谐波系列"t一个rget="_blank">谐波系列
发散的。 谐波系列是
假设谐波系列收敛,并考虑以下系列:
在那里<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
几何
当几何学中使用矛盾证明时,往往会得出看起来很荒谬的数字。这是可以预料到的,因为矛盾证明总是以一个与所相信的真理相反的前提开始。 证明与圆圈切的线垂直于包含切线点的圆的半径。
已知圆<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
假设切线不垂直于包含切点的半径。那么存在另一个点,<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
在网上<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
这样<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
自<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
是切点,<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
肯定在圈子外面。因此,<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
然而,<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
因此,与圆相切的直线总是垂直于包含切点的圆的半径。<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
鉴于<一个href="http年代://www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-theorem/" class="wiki_link" title="勾股定理"t一个rget="_blank">勾股定理 欧几里得原理,第一卷,命题六。 注意: 假设存在具有两种一致角度的三角形,但与那些角度相反的两侧并不一致。如果双方不一致,那么其中一个必须更长。
在上面的三角形中,<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
自<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
现在我们可以看到这些一致性: 这些一致性表明<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
组合
鸽子洞原理
:
5gydF4y2Ba个点被放置在一个单位等边三角形内。证明其中两个点的最大距离<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
拉姆齐定理
:
gydF4y2Ba证明在一个6人的聚会中,有3个共同的朋友或3个共同的非朋友。
假设这6个人中有3个人,最多有2个朋友或2个非朋友。让这6个人被贴上标签<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
图论理论
:
gydF4y2Ba证明在下面的图中,不可能在每条路径上只移动一次。任何顶点都可以被选为起始顶点或结束顶点,顶点可以被传递不止一次。
假设在图上每条路径只移动一次是可能的。考虑每个顶点经过多少次。每当一个顶点被输入时,它也会被退出。因此,如果每条路径只经过一次,那么每个顶点的路径数应该是偶数。例外情况是起始顶点和结束顶点。这些顶点的路径数量应该是奇数。只有一个起始顶点和一个结束顶点。然而,上面的图有4个顶点,它们的路径数量是奇数。
因此,不可能沿着每条路径恰好移动一次来遍历上面的图。<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
大厅的婚姻定理
无限下降
主要文章:<一个href="http年代://www.parkandroid.com/wiki/general-diophantine-equations-fermats-method-of/" class="wiki_link" title="费马无穷下降法"t一个rget="_blank">费马无穷下降法
费马无穷下降法 证明,如果<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
是正整数吗<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
不是整数吗<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
是非理性的。 假设<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
是理性的。然后它可以表达为<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
注意,上面的表达式等价于<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">
替代<年代p一个ncl一个年代年代="k一个tex">