椭圆
已经有账户了?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/conics-ellipse-general/" class="ax-click" data-ax-id="clicked_signup_modal_login" data-ax-type="link">日志在这里。一个>
有关……
- 几何>
一个椭圆是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/conics-circle-general-equation/" class="wiki_link" title="二次曲线" target="_blank">二次曲线一个>剖面,类似于一个椭圆形,但其正式特征是:存在两点 F1和 F2在椭圆内部(称为焦点),这样对于每一个点 P在椭圆上,这个量 PF1+PF2是恒定的 (在哪里 PF我表示距离 P来 F我).椭圆本质上是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/circles/" class="wiki_link" title="圈" target="_blank">圈一个>通常(不一定)沿着一个轴拉伸。他们是重要的对象<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/coordinate-geometry/" class="wiki_link" title="几何坐标" target="_blank">几何坐标一个>,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/euclidean-geometry/" class="wiki_link" title="欧几里德几何" target="_blank">欧几里德几何一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/number-theory/" class="wiki_link" title="数论" target="_blank">数论一个>.
方程和术语
假设两个点 F1和 F2,一个人希望确定<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/equation-of-locus/" class="wiki_link" title="轨迹" target="_blank">轨迹一个>点的 P这样 PF1+PF2是一个常数 k=2一个.的点 F1和 F2被称为“疫源地椭圆的(单数:焦点).为了简化计算,我们假设 F1=(−c,0)和 F2=(c,0).给定方程 F1和 F2是这种形式的,你可以通过旋转、膨胀和相应的平移来检索更一般的方程。
施加的条件是精确的
(x+c)2+y2 +(x−c)2+y2 =2一个.
孤立最左的激进分子,两边平方
(x+c)2+y2=4一个2−4一个(x−c)2+y2 +(x−c)2+y2.
再一次,将剩余的激进收益率隔离开来,并简化收益率
(x−c)2+y2 =一个−一个cx.
最后,两边平方并重新排列得到
一个2x2+一个2−c2y2=1.
设置 b=一个2−c2 ,方程很简单
一个2x2+b2y2=1.
的椭圆方程以原点为中心 (0,0)是
一个2x2+b2y2=1,
在哪里 一个和 b是实数。更一般地说,椭圆的中心在 (x”,y”)∈R2会有这种形式的方程吗
一个2(x−x”)2+b2(y−y”)2=1.
椭圆的轴线穿过 F1和 F2被称为主轴椭圆的,垂直于长轴的轴为短轴.在上面的符号中,长轴的长度为 2一个,因为椭圆与 x设在在 (一个,0)和 (−一个,0).一个类似的观测表明,短轴的长度为 2b.的参数 c被称为焦距,表示从焦点到椭圆中心的距离。
的偏心椭圆的定义为 ε=一个c.这可以被认为是测量椭圆与圆的偏离程度;椭圆恰好是一个圆 ε=0,否则就会发生 ε<1.
隧道开口呈半椭圆形。隧道宽80单位,高25单位。求以原点为圆心的椭圆方程。
长轴的长度(在 x-轴,因为它的宽度)是40个单位,短轴的长度(在 y-axis,因为它的高度)是25个单位。
由于椭圆(或半椭圆)以原点为中心,方程为
402x2+252y2=1.□
面积公式
直观地说,是一个长轴椭圆 2一个和短轴长度 2b仅仅是一个半径的圆吗 一个被挤压/拉伸的 y-轴的一个因子 一个b.因此,被这个椭圆包围的区域应该是 一个b⋅π一个2=π一个b.
虽然这不是一个严格的证明,但直觉并不难转化为一个精确的论证。这个椭圆的上半部分有方程
y=b1−一个2x2 ,
所以椭圆的面积是
一个=2b∫−一个一个1−一个2x2 dx=2一个b∫−一个一个一个2−x2 dx.
但 ∫−一个一个一个2−x2 dx就是用方程求出圆的一半面积 x2+y2=一个2,等于 21π一个2.因此,
一个=2一个b⋅21π一个2=π一个b.
例子和问题
应用程序
在天文学中,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/applying-keplers-laws/" class="wiki_link" title="开普勒定律" target="_blank">开普勒定律一个>说一颗行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆,而这个椭圆的焦点之一就是太阳本身。此外,关于这个椭圆的信息可以量化行星的轨道周期(行星绕太阳一周所需的时间)。
如果 p轨道周期和这个轨道对应的椭圆是否有一个长轴 2一个,然后 p2∝一个3.,在那里 ∝表明正比例。