卡方测试

的卡方测试指一类统计检验，其中抽样分布是一个卡方分布．如果没有进一步的限定，这个术语通常指皮尔逊卡方测试，用来检验观察到的分布是否可能由预期分布产生(在某种假设下)，或者该假设是否可能是错误的。

通常用卡方检验来检验独立在两个数据集之间。例如,在一项调查中,参与者的年龄记录,可以使用卡方测试以确定年龄影响调查的反应,或者两个都是独立的(因为在这种情况下,一个期望的响应所有年龄段大致相当)。这种检验也通常用于检验总体是否遵循特定的分布;例如，这个测试可以用来确定一个骰子是否公平，或者一个城市的男性和女性数量是否相等。

假设一枚硬币被投掷100次。如果硬币是均匀的(抛掷正面和反面的概率相等)，预期结果将是50次正面和50次反面。然而，概率完全这种结果发生的可能性很小;例如，53次正面朝上通常不会令人惊讶。然而，92次正面的结果肯定表明，这枚硬币实际上并不公平。

卡方检验提供了一种方法来检验观察到的结果(正面的数量)是否可能是随机产生的，或者最初的假设(在这种情况下是公平的)是否一定是错误的。

的卡方统计量被定义为

$\chi^2 = sum_{i=1}^n \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}，$

在哪里 $O_i$是类型的观察数吗 $我$, $E_i$是预期的观测数量的类型 $我$．卡方检验的关键是卡方统计量可以很好地用a来近似卡方分布(它本身是一个近似多元正态分布)，并选择适当数目的自由度。

由于这种近似，为了使测试有效，需要保持一些条件(在下一节中详细说明)。如果它们成立，卡方检验如下:

1. 计算卡方统计量 $\ x ^ 2$上面定义的。
2. 确定自由度的数目 $(df)$的统计。这取决于特定的预期分布，但通常是这样的 $n - 1$( $n$是类别的数量)。
3. 选择一个置信水平，通常是95%或99%。
4. 确定临界值的 $\ x ^ 2$分布与 $df$自由度和以上选择的置信度。本质上，它被定义为值 $x$下面的部分卡方分布 $x$至少是期望的置信水平。
5. 将卡方统计量与临界值进行比较。如果小于临界值，则零假设不拒绝。如果大于临界值，则拒绝零假设，期望分布可能是错误的。

直观上，测试依赖于这样一个事实:如果预期分布确实正确，则观察到的分布和预期分布之间的差应该近似于a多元正态分布，用a近似卡方分布由中心极限定理．如果卡方统计量大于临界值，那么在这个假设下不太可能发生，因此这个假设很可能是错误的。

卡方检验也可以用来检验两个数据集之间的独立性，其中每个“观察”定义为的值两个结果安排在列联表．在这种情况下，卡方统计现在运行在表格的所有单元格:

$\ x ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ {r} \ sum_ {j = 1} ^ {c} \压裂{(O_ {i, j} -E_ {i, j}) ^ 2} {E_ {i, j}},$

在哪里 $r、c$分别为第一组观测值和第二组观测值的个数。自由度的数目是 $df = (r1)(颈- 1)$．

作为独立测试，通常的置信水平是 $p = 0.95$．如果在这些条件下卡方统计量超过临界值，则可以拒绝独立假设，两个数据集不太可能是独立的。

卡方检验可以用来确定一个骰子是否公平，即显示1、2、3、4、5和6的次数相等。

假设掷96次骰子后，骰子显示24个1,15个2s, 14个3s, 16个4s, 14个5s和13个6s。骰子不公平吗?

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这可以在下表中列出:

我	$O_i$	$E_i$	$O_i——E_i$	$\压裂{(O_i E_i) ^ 2} {E_i}$
1	24	16	8	4
2	15	16	－1	0.0625
3.	14	16	－2	0．25
4	16	16	0	0
5	14	16	－2	0．25
6	13	16	－3	0.5625

所以卡方统计量是 $4 + 0.0625 + 0.25 + 0 + 0.25 + 0.5625 = 5.125$．自由度的数目是 $Df = 6 - 1 = 5$， 5自由度95%置信水平的卡方分布具有临界值 $11.07$．由于卡方统计量小于临界值，这个观察结果没有提供足够的信息来拒绝公平的原假设。 $_ \广场$

如果观测值是29个1s, 8个2s, 12个3s, 17个4s, 14个5s, 16个6s，那么表就是

所以卡方统计量是 $10.5625 + 4 + 1 + 0.0625 + 0.25 = 15.875$．这足以在95%置信水平上拒绝零假设。

然而，在99.9%置信水平下的临界值是20.515，因此这不足以拒绝在99.9%置信水平下的原假设。

因为卡方分布只是一个近似，要使卡方检验成立，有以下几个必要的假设:

1. 观察结果必须是简单随机样本(即可能产生的结果);总体中的每一个成员都必须有相等的被选中的概率(尽管对于加权数据存在广义形式)。
2. 的样本大小必须足够大。与所有统计测试，小样本量可能导致II型错误．
3. 每个单元格的期望值必须足够大。常用的规则是a的所有单元格 $2 \ * 2$表的期望值至少为5，较大的表中至少有80%的单元格的期望值至少为5，并且没有单元格的期望值为0。
4. 独立性:每一个观察结果必须是独立于其他观察结果的，即不能用卡方检验进行检验相关数据。

检查这些假设是很重要的，因为不管是否满足，卡方检验都会起作用;然而，如果没有得到满足，结果可能会误导人。

• 卡方分布
• 独立