契比雪夫公式
在工程计算中,经常使用切比雪夫近似积分公式。
让它被要求计算 .
用拉格朗日插值多项式代替被积函数 取一些 函数在间隔上的取值 在哪里 区间上有点吗
我们得到积分近似公式如下:
经过一些计算,它的形式是
其中系数 是按公式计算的吗
(3)式(3)由于系数 都是用复分数表示的。
切比雪夫提出了反问题:不指定横坐标 但是系数 然后求出横坐标 .
系数 ,使公式(3)在计算时尽可能简单。当所有系数 是相等的:
如果我们表示系数的总价值 通过 ,式(3)为
一般来说,式(5)为近似方程,但是如果 次数的多项式是否不大于 那么方程就是确切的.这种情况允许确定数量 .
为了得到一个适用于任意积分区间的公式,我们对积分区间进行变换 进入间隔 要做到这一点,放
然后 我们会有 和
因此,
在哪里 表示的函数t在积分号下。因此,对给定函数积分的问题 在间隔上 总能简化成对其他函数的积分吗 在间隔上
总而言之,问题归结为公式中的选择
这些数字 所以这个公式对任何函数都适用 形式的
请注意
另一方面,在(7)的基础上,(6)右边的和等于
将表达式(8)和式(9)相等,我们得到一个等式,它应该适用于任何
的系数相等 在等式的左右两侧:
从这些 方程,求横坐标 .这些解是由切比雪夫找到的 下面的解决方案是他在中间点数量的情况下找到的 等于3 4 5 6 7 9:
因此,在区间上 积分可以用下面的公式近似表示切比雪夫公式:
在哪里 其中一个数字是3 4 5 6 7 9和吗 表中给出的数字是多少?在这里, 不能是8或任何超过9的数,因为这样方程组(10)产生虚根。
当给定的积分有积分极限时 和 切比雪夫公式是这样的
在哪里 为 和 使用表中给出的值。
评估
首先,通过变量变换,将这个积分转化为积分极限为-1到1的新积分
然后
用切比雪夫公式计算后一个积分,取
自
我们有