切比雪夫多项式的定义和性质

这Chebyshev多项式正交多项式序列是相关的吗De Moivre的公式。它们具有许多性质，使它们在求解多项式和近似函数的区域中有用。

这 $n ^ \文本{th}$第一个赤壁河豚多项式,用 $t_n（x）$，被定义为

$T_n (x) = cos left(n \cos^{-1} x right)，$

或等效

$t_n（\ cos \ theta）= \ cos n \ theta。\ _ \ square$

因为我们知道 $\ begin {对齐} \ cos 0 \ theta＆= 1 \\ \ cos 1 \ theta＆= cos \ theta \\ \ cos 2 \ theta＆= 2 \ cos ^ 2 \ theta - 1 \\ \ cos 3 \Theta＆= 4 \ cos ^ 3 \ theta - 3 \ cos \ theta，\结束{aligned}$我们可以得出结论 $\ begin {对齐} t_0（x）＆= 1 \\ t_1（x）＆= x \\ t_2（x）＆= 2x ^ 2 - 1 \\ t_3（x）＆= 4 x ^ 3 - 3x。\结束{对齐}$

找到 $T_4 (x)$以上。

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找到 $T_4 (x)$，我们可以等价地求 $\ cos 4 \ theta$按照 $\θ.$。

使用余弦和公式，我们得到

$cos 4 = cos cos3 - sin sin 3。$

回想起那个 $\ sin 3 \ theta = 3 \ sin \ theta - 4 \ sin ^ 3 \ theta$。然后

$begin{align} cos cos - sin sin 3 = cos左(4 cos^3 - 3 cos^3) - 3 sin^2 - 4 sin^4 +3 left(1- cos^2右)- 4 left(1- cos^2右)^2 = 8 cos^4 - 8 cos^2 + 1。\结束{对齐}$

因此， $t_4（x）= 8x ^ 4-8x ^ 2 + 1。\ _ \ Square$

找到 $t_5（x）$以上。

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找到 $t_5（x）$，我们可以，就像前面的例子一样，找到一个函数 $\ cos 5 \ theta$按照 $\θ.$。

我们再次使用余弦和公式 $\ cos 5 \ theta = \ cos \ theta \ cos4 \ theta - \ sin \ theta \ sin 4 \ theta。$但是我们必须更换 $\ cos4 \ theta$和 $8 \ cos ^ 4 \ theta-8 \ cos ^ 2 \ theta + 1，$然后手动计算 $\ sin 4 \ theta，$进而...

算了吧。这正变成一场绝望的打击;我们不能这么做 $t_6（x）$或 $t_7（x）$，我们绝对不能轻易概括这一点 $t_n（x）$。我们可以随时使用De Moivre的公式，但计算也非常广泛。

如果只有更容易的方式...... $_\正方形$

我们将如何获得更通用的公式？在回答上一个问题时，大多数人试图扩大

$\ cos（n + 1）\ theta = cos n \ theta \ cos \ theta - \ sin n \ theta \ sin \ theta。$

我们可以轻松将前2个术语转换为 $T_N.$的形式。然而，这种方法的问题是 $\ sin n \ theta \ sin \ theta$不容易处理，(目前)需要进一步扩大。

相反，我们将使用事实(从三角函数的和和乘积公式)

$\ cos（n + 1）\ theta + \ cos（n-1）\ theta = 2 \ cos \ theta \ cos n \ theta。$

这就给出了递归关系:

$T_{n+1} (x) = 2x T_n (x) - T_{n-1} (x).\ _\平方$

以下是初始值的表 $t_ {n}（x）$：

$\ begin {对齐} t_0（x）＆= 1 \\ t_1（x）＆= x \\ t_2（x）＆= 2x ^ 2 - 1 \\ t_3（x）＆= 4x ^ 3 - 3x \\ t_4（x）＆= 8x ^ 4 - 8x ^ 2 + 1 \\ t_5（x）＆= 16x ^ 5 - 20x ^ 3 + 5x \\ t_6（x）＆= 32x ^ 6 - 48x ^ 4 + 18x ^ 2- 1 \\ t_7（x）＆= 64x ^ 7 - 112x ^ 5 + 56x ^ 3 - 7x \\ t_8（x）＆= 128x ^ 8 - 256x ^ 6 + 160x ^ 4 - 32x ^ 2 + 1 \\T_9（x）＆= 256x ^ 9 - 576x ^ 7 + 432x ^ 5 - 120x ^ 3 + 9x。\\ t_ {10}（x）＆= 512x ^ {10} - 1280x ^ 8 + 1120x ^ 6 - 400x ^ 4 + 50x ^ 2-1。\\ \结束{对齐}$

关于这些系数，我们可以做如下猜想:

1. 系数是整数。
2. 常数项是 $(1) ^ k$为了 $n = 2k.$和0 $n = 2k + 1$。
3. 领先的术语是 $2 ^ {n-1}$。
4. 线性项的 $t_ {2n + 1}（x）$是 $（-1）^ {n}（2n + 1）$。
5. 非零术语具有与奇偶校正相同的指数 $N$。
6. 系数的总和是1。
7. 非零系数在符号中交替。
8. 系数 $x ^ 2$术语 $T_ {2 k} (x)识别$是 $（-1）^ {k + 1} 2k ^ 2$。
9. 系数的绝对值的总和是 $\压裂{1}{2}\离开(1 + \ sqrt{2} \右)^ n + \压裂{1}{2}\离开(1 - \ sqrt{2} \右)^ n$。
10. 的根源 $T_N.$是 $左(\ \因为\ dfrac {(2 k + 1) \π}{2 n} \右),$在哪里 $k \ in \ mathbb {z}$。

我们将证明一些这些猜想。其余的剩余留给读者的练习。

证明猜想2。

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我们将用归纳法证明它。首先，在两个基本情况中，我们看到 $T_0 (x) = 1$和 $t_1（x）= x$，满足常数项是 $（-1）^ 0$和 $0.$， 分别。现在我们必须证明给出了 $t_n（x）$有一个系数 $0.$如果 $n = 2k + 1$和 $（-1）^ k$如果 $n = 2k.$， 然后 $T_ {n + 1} (x)识别$也满足这个。

注意，常数项可以通过代入来计算 $x = 0.$。在复发关系中这样做 $t_n（x）$给 $T_ {n + 1}识别(0)= 2 \ * 0 \ * T_n (0) -T_ {n} (0) = -T_ {n}(0)。$

这意味着如果 $t_ {2k}（0）=（ - 1）^ k$， 然后 $t_ {2k + 2}（0）=（ - 1）^ {k + 1}$;此外，如果 $T_ {2 k + 1}识别(0)= 0$， 然后 $t_ {2k + 3}（0）= 0$，完成归纳。 $_\正方形$

证明猜想6。

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系数的总和 $t_n（x）$只是 $T_N（1）$。回顾那个 $t_n（\ cos \ theta）= \ cos n \ theta$，我们看到我们想要评估 $\ n \因为θ$什么时候 $\ cos \ theta = 1$。但这意味着 $\ theta = 0$， 所以 $cos n = cos 0 = 1$。

所以， $t_n（1）= 1$我们完成了。 $_\正方形$

证明猜想10。

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我们渴望找到根源 $X$的 $T_n (x) = 0$。

替换 $x = \ cosθ$我们要做的是求根 $T_n(\因为\θ)= \因为n \θ= 0。$

这发生了 $n \ theta = \ dfrac {\ pi} {2} + k \ pi$为了 $k \ in \ mathbb {z}$。

因此， $\ theta = \ dfrac {\ pi} {2n} + dfrac {k \ pi} {n} = \ dfrac {（2k + 1）\ pi} {2n}。$

但这意味着 $x = \ cos \ theta = \ cos \ left（\ dfrac {（2k + 1）\ pi} {2n} \右），$做完了。 $_\正方形$

表明如果 $R.$是一个理性的数字 $\ cos（r \ pi）$是理性的,那么 $\ cos（r \ pi）\ in \ {0，\ pm \ frac {1} {2}，\ pm 1 \}$。

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因为我们有一个函数相关 $\ cos \ theta$到 $\ n \因为θ$，我们有理由怀疑有这样一个函数 $\ sin \ theta$和 $\ sin n \ theta$也。实际上，第二种的Chebyshev多项式是这样的：

这 $n ^ \文本{th}$第二类切比雪夫多项式,用 $u_n（x）$，是由

$U_N（\ COS \ THETA）= \ FRAC {\ SIN \ LEFT（（n + 1）\ theta \ othera}} {\ sin \ theta} _ \ square$

1. $t_n（-x）=（-1）^ n t_n（x）$
2. $t_ {2n}（0）=（-1）^ n$
3. $t_n（1）= 1$
4. $T_{2n+1} (0) = 0$
5. $T_n (-1) = (-1) n$
6. 证明 $t_n（x）= \ frac {\ left（x - \ sqrt {x ^ 2 - 1} \ left）^ n + \ left（x + \ sqrt {x ^ 2 - 1} \右）^ n} {2}。$
7. 证明 $T_n (x) = (-2)^n n!} {(2 n) !}\sqrt{ \left(1-x^2 \right) } \frac{ d^n } { dx^n } \left( 1 - x^2 \right) ^ { \frac{n-1}{2} }.$
8. 表明生成功能 $t_n（x）$是（谁）给的 $\压裂{1 - tx} {1 - 2 tx + t ^ 2} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty T_n (x) t ^ n。$