的
nth第一类切比雪夫多项式,用
Tn(x),被定义为
Tn(x)=因为(n因为−1x),
或者同样的
Tn(因为θ)=因为nθ.□
因为我们知道
因为0θ因为1θ因为2θ因为3.θ=1=因为θ=2因为2θ−1=4因为3.θ−3.因为θ,我们可以得出结论
T0(x)T1(x)T2(x)T3.(x)=1=x=2x2−1=4x3.−3.x.
找到
T4(x)以上。
找到
T4(x),我们可以等价地求
因为4θ而言,
θ.
用余弦和公式,我们得到
因为4θ=因为θ因为3.θ−罪θ罪3.θ.
回想一下,
罪3.θ=3.罪θ−4罪3.θ.然后
因为θ因为3.θ−罪θ罪3.θ=因为θ(4因为3.θ−3.因为θ)−3.罪2θ−4罪4θ=4因为4θ−3.因为2θ+3.(1−因为2θ)−4(1−因为2θ)2=8因为4θ−8因为2θ+1.
因此,
T4(x)=8x4−8x2+1.□
找到
T5(x)以上。
找到
T5(x),我们可以,就像前面的例子一样,找到一个函数
因为5θ而言,
θ.
再次使用余弦和公式,我们得到
因为5θ=因为θ因为4θ−罪θ罪4θ.但是我们必须替换
因为4θ与
8因为4θ−8因为2θ+1,然后手动计算
罪4θ,然后……
算了吧。这正变成一场绝望的打击;我们不能这么做
T6(x)或
T7(x),我们显然不能把它推广到
Tn(x).我们总是可以使用De Moivre的公式,但计算也非常广泛。
如果有更简单的方法……
□
我们如何得到一个更一般的公式呢?在回答前一个问题时,大多数人都试图扩张
因为(n+1)θ=因为nθ因为θ−罪nθ罪θ.
我们可以很容易地把前两项转化成
Tn的形式。然而,这种方法的问题是
罪nθ罪θ不容易处理,(目前)需要进一步扩大。
相反,我们将使用事实(从三角函数的和和乘积公式)
因为(n+1)θ+因为(n−1)θ=2因为θ因为nθ.
这就给出了递归关系:
Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x).□