向心加速度

向心加速度(径向)是加速度使物体沿着圆形路径移动，或者转．普通的(切向的)加速度沿着物体的运动方向(或相反)，向心加速度则从物体的位置径向向内，与物体的速度矢量成直角。事实上，由于向心加速度的方向，它也被称为“径向”加速度。

由于摩擦力、法向力和向心加速度的相互作用，这款BMXer可以在弯曲的壁面上行驶。

虽然在圆形轨道上运动的物体可能以一个常数运动速度，因为速度是由速度和方向组成的，任何改变的过程方向必须包含加速度。因此，物体在圆周上以恒定的速度运动时，其向心加速度是非零的。

向心加速度总是用圆路径的半径表示， $r,$或者是切向速度， $v,$或角速度, $\ω:$

$A_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r。$

在牛顿的引力理论中，物体遵循的轨迹是圆锥截面(如椭圆、抛物线)。例如，我们太阳系的行星绕太阳运行的轨道大致是椭圆形的。对于离心率接近于零的轨道，它是模型轨道匀速圆周运动的一个很好的近似。

^[1]

地球绕太阳公转一周大约需要365天。

将轨道近似为完美的圆形，求出地球的向心加速度。

假设:

• 轨道半径(太阳到地球的距离)为 $1.50 \ * 10 ^ {11} {m} \文本。$
• 轨道周期(地球绕轨道运行一次的时间)为365地球日。
• 1地球日是24小时。

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要么轨道速度 $v$或角速度 $\ω$可以用来计算向心加速度，但是 $v$给定的变量更容易，因为

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{2\pi r}{t}，$

在哪里 $\δs$在一个轨道中穿过的弧长和 $T$是轨道周期。我们可以计算轨道速度 $v$的假设:

$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi大(1.50\times 10^{11}\big)}{365\times24\times60\times 60}=2.99\times 10^{4} \text{m/s}。$

轨道速度 $v$的表达式中有切向速度吗 $a_c$,所以

$a_c = \压裂{v ^ 2} {r} = \压裂{\大(2.99 \ * 10 ^ {4}{m / s} \ \文本大)^ 2}{\ 1.50 * 10 ^{11}\文本{m}} = 5.96 \ * 10 ^{3} \文本{m / s} ^ 2。$

上图描绘了某一时刻圆周运动的一般情况。

让 $r$而且 $r '$是位置向量 $v$而且 $v '$就是物体在某一点时的速度 $P$而且 $P ',$分别如上所示。根据定义，速度是在运动方向上沿切线的一点。因为路径是圆形的， $v$而且 $v '$垂直于 $r$而且 $r ',$分别。因此, $\Delta v \perp \Delta r$．因为平均加速度是沿着 $\δv$ $\左(\text{since}\， \overline{a}=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\右)$， $\overline{a} \perp \Delta r$． $\δv$是指向中心线，放在直线之间的平分角吗 $r$而且 $r '$．作为 $t \右移0$时，加速度变为瞬时加速度，且始终指向圆心。因此，加速度的大小由定义给出

$| | = \ lim_{\δt \ rightarrow 0} \ dfrac{| \δv |}{\δt}。$

位置向量之间的夹角 $r$而且 $r '$是 $δθ\ \$之间, $v$而且 $v '$也 $δθ\ \$．因此 $\Delta CPP' \sim \Delta GHI$因为相似三角形的对应边是成比例的，我们有

$\dfrac{\Delta v}{v}=\dfrac{\Delta r}{r} \Delta v=v\dfrac{\Delta r}{r}。$

因此加速度的大小变成

$|a|=\lim_{\Delta t \right tarrow 0} \dfrac{|\Delta v|}{\Delta t}=\lim_{v|\Delta r|}{r \Delta t}=\dfrac{v}{r}\lim_{\Delta t \right tarrow 0} \dfrac{|\Delta r|}{\Delta t}。$

自 $\δt$很小, $δθ\ \$也是小的，我们可以带吗 $页的$approxiamately等于 $| \δr |$：

$|\Delta r| \约v\Delta t \右转\dfrac{\Delta r}{\Delta t} \约v\右转\lim_{\Delta t \右转0}\dfrac{|\Delta r|}{\Delta t}=v。$

因此，圆周运动中加速度的大小为

$左(\ dfrac a_c = \ {v} {R} \右)v = \ dfrac {v ^ 2} {R}。$

加速度定义为每单位时间内速度矢量的变化量: $\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}。$

的角速度， $\ω$，由

$R \ω= \压裂{v}{}。$

向心加速度由 $a_c = \ω^ 2 r。$

要计算骑自行车者的加速度，需要找到速度矢量的变化量 $vec {v} = \ \三角洲\ vec {v}(\ \δθ+ \θ)——vec {v} \ \(θ)$，因为自行车移动的角度 $δ\ \θ。$

放大轨迹的一小部分，检查用于计算的矢量:

要找到差异，请对齐 $vec {v} \(\ \δθ+ \θ)$而且 $- vec {v} \ \θ)$提示到尾:

首先，观察其中的差异 $vec {v} \三角洲\$直接指向圆心。

接下来，两个向量的夹角显然是 $δθ\ \$．

差值的长度 $vec {v} \三角洲\$(大约)由扫过的弧长给出 $vec {v} \$当它旋转的时候 $δθ\ \$．使用 $S = \ r，$

$\Delta \vec{v} \约\Delta \theta \lvert v \rvert。$

两边同时除以 $\δt,$

$\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \ prox \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \omega v。$

如果通常的定义 $\ω$被替换,

$vec {a} = \ \压裂vec {v}}{\三角洲\{\δt} \大约\压裂{v ^ 2} {R}。$

考虑 $δθ\ \$非常小:非常小，以致于自行车的道路很平坦这样，弧长近似的小误差就完全消失了，只剩下最后的结果。

因此，自行车的加速度为 $\boxed{a_c = \displaystyle \frac{v^2}{R}}$并且直接指向圆形路径的中心。 $_ \广场$

虽然这个演示说明了问题，但它多少是人为设计的。运动中保留了许多约束条件:半径保持不变，半径的变化率保持不变，没有角加速度。

实际上有一种更简单的方法来计算转动参考系中可能出现的所有四种加速度，这涉及到使用De Moivre定理．

1. 苦行僧,D。螺旋模型-旋涡太阳系动画．2016年5月4日检索http://www.djsadhu.com/the-helical-model-vortex-solar-system-animation/