向心加速度
向心加速度(径向)是加速度使物体沿圆周运动,或转.普通(切向)加速度沿着(或相反)物体的运动方向,而向心加速度从物体的位置径向向内,与物体的速度矢量成直角。事实上,由于其方向,向心加速度也被称为“径向”加速度。
尽管在圆形轨道上运动的物体可以以一个常数运动速度由于速度是由速度和方向组成的,所以任何改变速度的过程方向必须包含一个加速度。因此,物体在圆周上以恒定速度运动时,其向心加速度是非零的。
向心加速度总是用圆形路径的半径表示, 或者是切向速度, 或角速度,
轨道运动
在牛顿的引力理论中,物体的轨迹是圆锥曲线(如椭圆、抛物线)。例如,我们太阳系的行星围绕太阳运行的轨道大致是椭圆形的。对于偏心率接近于零的轨道,它是将轨道运动模型近似为匀速圆周运动的一个很好的近似。
地球绕太阳公转一周大约需要365天。
将轨道近似为完美的圆形,求出地球的向心加速度。
假设:
- 轨道半径(太阳到地球的距离)为
- 轨道周期(地球绕轨道运行一次的时间)是365地球日。
- 1地球日是24小时。
要么轨道速度 或角速度 可以用来计算向心加速度,但是 给定变量更容易,因为
在哪里 在一个轨道和期间所经过的弧长是多少 为轨道周期。我们可以计算轨道速度 的假设:
轨道速度 这个表达式中的切向速度是多少 ,所以
向心加速度的矢量描述
上图描述了在某一时刻作圆周运动的一般情况。
让 和 为位置向量和 和 是物体在点上的速度 和 分别如上所示。根据定义,速度是沿着运动方向上的切线的一点。由于路径是圆形的, 和 垂直于 和 分别。因此, .因为平均加速度是 , . 是指向圆心,放在等分角之间的直线上吗 和 .作为 ,加速度变成瞬时的,并且总是指向中心。因此,加速度的大小根据定义是
位置向量之间的夹角 和 是 之间, 和 也 .因此 由于相似三角形的对应边是成比例的,我们有
因此加速度的大小就变成了
自 很小, 也是小的,我们能拿吗 approxiamately等于 :
因此,作圆周运动时加速度的大小为
两个定义之间关系的证明
加速度定义为单位时间内速度矢量的变化量:
的角速度, ,是由
向心加速度是
要计算摩托车手的加速度,求速度矢量的变化量 ,当自行车通过这个角度
放大轨道的一小部分,检查用于计算的矢量:
找到差异,对齐 和 提示到尾:
首先,观察两者的区别 直接指向圆心。
接下来,两个向量的夹角很明显 .
差的长度 是(近似地)由扫过的弧长给出的 当它旋转的时候 .使用
两边同时除以
如果通常的定义 被替换,
考虑 为了使自行车的路径平坦而使其非常小。因此,由于弧长近似的小误差完全消失,只剩下最终结果。
因此,自行车的加速度为 直接指向圆形路径的中心。
虽然这个演示很有启发性,但它在某种程度上是人为的。在运动中有许多约束条件:半径保持不变,半径变化率保持不变,并且没有角加速度。
事实上,有一种更简单的方法来计算旋转参考系中所有的四种加速度,这涉及到使用De Moivre定理.
参考文献
- 苦行僧,D。螺旋模型-涡旋太阳系动画.2016年5月4日,从http://www.djsadhu.com/the-helical-model-vortex-solar-system-animation/