生活环境调查

生活环境调查是将一个问题分解成有限数量的情况，然后确定每个情况的数学结果的过程。一旦所有的情况都“解决”了，基本问题的解决方案就变得清晰了。案例研究几乎应用于数学的所有领域。

个案工作不仅在有限的、清楚描述的情况下有用。个案工作也可以应用于有大量可能结果甚至无限可能结果的问题。这些问题中的案例工作的目标是定义一个模式或公式，而不是一个特定的解决方案。

案例工作最明显的应用是，当一个问题给你一个清晰的结构，在这个结构中不同的事情在不同的情况下发生。一个例子就是解<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/absolute-value-equations/" class="wiki_link" title="绝对值方程" target="_blank">绝对值方程．

解决: $| 2 x + 3 | =法$

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$2 x + 3$要么是正的，要么是负的，要么是零。根据这个，绝对值会有不同的作用。

案例1： $2 x + 3$为正或零。

如果是这种情况，那么绝对值将不起任何作用。方程变得 $2 x + 3 =法$．解决这一收益率 $x = 0$．

案例2： $2 x + 3$是负的。

如果是这种情况，那么绝对值将使表达式为负。方程变得 $- x(2 + 3) =法$．解决这一收益率 $x = 6$．

这两个解都是用代换法确定的。解集是 $\ \{6日0 \}$．

案例工作的另一个用途是，当某件事的可能性是有限的，但只有一种可能是真的。个案工作允许人们使用排除的过程来找到正确的解决方案。

让 $一个$和 $b$是正整数 $一个^ 2 b ^ 2 = 24$．的最大值是多少 $a ^ 2 + ^ 2$？

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方程左边可以因式分解:

$(a + b) (a - b) = 24$

考虑到 $一个$和 $b$是整数吗 $a + b$和 $a - b$必须是整数因数 $24$．考虑到 $一个$和 $b$是积极的, $a + b > a - b > 0$．这提供了以下可能性 $a + b$和 $a - b$：

$\begin{array}{c|c} a+b & a-b \\ \hline 24 & 1 \\ 12 & 2 \\ 8 & 3 \\ 6 & 4 \end{array}$

让 $m = a + b$和 $n = a - b$．解这个方程组可以得到:

${对齐}& = \ \开始压裂{m + n} {2} \ \ \ \ b & = \压裂{m n}{2} \{对齐}结束$

它给出了的值 $一个$和 $b$：

$\开始{数组}{c c c | | | c} + b和a - b和a和b \ \ \线24日& 1 & \颜色{# D61F06} {12.5} {# D61F06}{11.5} & \颜色\ \ 12 & 2 & 7 & 5 \ \ 8 & 3 &颜色\ {# D61F06}{5.5}和{# D61F06}{2.5} \颜色\ \ 6 & 4 & 5 & 1 \{数组}结束$

红色的值是非整数，所以不可能。解将是。的最大值 $a ^ 2 + ^ 2$．的两个可能值 $a ^ 2 + ^ 2$是 $74$和 $26$，则最大值为 $74$．

使用案例工作总是可能的，即使问题并不建议将问题清晰地划分为案例。如果一个问题解决者发明了一个聪明的方法来分离问题，它可以导致一个有效的解决方案。

下面的问题可能看起来很复杂，但有一个聪明的方法可以应用案例工作来找到解决方案。考虑这样一个方程 $^ b = 1$．考虑一下 $一个$和 $b$使这个方程成立。这个问题可以根据这些可能性分成几个案例。

个案工作的应用是广泛的。本网页的其余部分将探讨个案工作在数学各个领域的应用。

的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rational-root-theorem/" class="wiki_link" title="理性的根定理" target="_blank">理性的根定理是个案工作的应用。这个定理的应用包括列出一个多项式函数的可能有理根，并使用消元的过程来找到所有有理根。

理性的根定理

让 $f (x)$是一个非常多项式函数，具有整数系数和非零常系数。让 $D$为领先系数的所有正整数因子的集合，令 $N$为常系数的所有正整数因子的集合。让一组 $年代$被定义为:

$S = \左\ {x x = \ \ \左| \ \压裂{n} {d},下午\ n \ n \ d \ d \吧。\ \}$

的所有有理根的集合 $f (x)$是 $年代$．

求函数的有理根 $f (x) = 2 x ^ 3-3x ^ 2-18x + 14$．

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前导系数的正整数因子， $2$,有: $第1、2 \ \ {}$．

常系数的正整数因子， $－14$,有: $\{1、2、7、14 \}$．

有理根定理给出如下集合可能的理性的根源: $左\ \{\下午1 \下午2 \点7,14日下午\ \ \下午dfrac{7}{2} \右\}$

函数的有理根总是是上述集合的子集(它可以是空集合)。这实际上是为了找到解决方案而测试的一组案例。

测试每一个可能的根产量 $\ dfrac {7} {2}$作为唯一有理的根。

如前所述，个案工作对求解绝对值方程是有用的。它对求解不等式也很有用。

求的解集 $\ dfrac {x + 3} {2 x5} \通用电气0$

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分子和分母给出了方程左边的表达式是正的还是负的不同情况。

案例1： $X +3\ge 0 \cap 2x-5>0$

如果分子和分母都大于0，那么有理表达式是正的。因此，不平等将得到满足。当分子为时，不等式也满足 $0$，但分母不能是 $0$．解出这些不等式 $x > \压裂{5}{2}$．

案例2： $X +3\le 0 \cap 2x-5<0$

如果分子和分母都小于0，那么有理表达式是正的。因此，不平等将得到满足。当分子为时，不等式也满足 $0$，但分母不能是 $0$．解出这些不等式 $x \勒3$．

两种情况都满足不等式。因此，解集为 $左\ \ {le 3 x左| \ \ \ \ \杯x > \压裂{5}{2}\吧。\ \}$

当一个人必须考虑多种可能性时，个案工作尤其重要。下面的问题就是一个很好的例子。

个案工作可以用来解决<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-diophantine-equations-one-equation/" class="wiki_link" title="丢番图方程" target="_blank">丢番图方程．丢番图方程是一个变量只能取整数值的方程。

在美式足球中，得分可以通过以下方式来计算:

• 触地得分:7分
• 投篮得分:3分
• 安全:2分

一支球队以24分结束了一场比赛。多少种评分方法的组合可以得到这个分数?评分方法的顺序并不重要。

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让 $x$是触地得分的次数， $y$是投篮得分的数字 $z$是安全的数量。目标是解决:

$7 x + 3 y + 2 z = 24$

通过个案研究，我们可以将上述方程转化为双变量方程，这就更容易用丢番图方程来求解了。

案例1如该队达阵得分为零。

这给了 $3 y + 2 z = 24$．该队本可以打出最高得分 $8$领域目标 $0$安全。然后，球场目标可以通过增加 $2$而安全性是通过增加 $3.$．因此，序对解 $(x, y, z)$对于这种情况是:

$开始\{数组}{ccccc}(0 8 0) &(0 6 3) &(0、4、6)&(0、2、9)&(0,0,12)\{数组}结束$

案例2如该队得了一次触地得分。

这给了 $3 y + 2 z = 17$．该队本可以打出最高得分 $5$领域目标 $1$安全。然后，可以像前面的案例一样调整场地目标和安全性。有序对解 $(x, y, z)$对于这种情况是:

$\{数组}{ccc}开始(1、5、1)&(1、3、4)&(1 1 7)\{数组}结束$

案例3如该队得了两次触地得分。

这给了 $3 y + 2 z = 10$．有序对解 $(x, y, z)$对于这种情况是:

$\begin{array}{cc} (2,2,2) & (2,0,5) \end{array}$

例4如这个队得了三个触地得分。

这给了 $3 y + 2 z = 3$．唯一的有序对解 $(x, y, z)$对于这种情况是:

$(3 1 0)$

总之，有 $11$评分方法的可能组合。

个案工作通常可以通过应用来消除或缩小一组解决方案<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="模运算" target="_blank">模运算技术。

最大的2位整数的完全平方是多少 $29$？

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让 $x$是一个整数，其完全平方结束于 $29$．然后,

$x ^ 2 \ 29枚\ pmod {100}$

那么这也是真的，

$x ^ 2 \ \ 9枚pmod {10}$

这给了 $x \ 3枚\ pmod {10}$或 $x \ 7枚\ pmod {10}$．

案例1： $x \ 3枚\ pmod {10}$

让 $x = 10 + 3$．把这个代入原来的同余

$\begin{aligned} 100a^2+60a+9 &\equiv 29\pmod{100} \\ 60a &\equiv 20\pmod{100} \\ 6a &\equiv 2\pmod{10} \\ a &\equiv 2，\ 7\pmod{10} \end{aligned}$

情形一给出了两个可能的两位数解 $x$： $23$和 $73$．

案例2： $x \ 7枚\ pmod {10}$

让 $x = 10 + 7$．把这个代入原来的同余

$\begin{aligned} 100a^2+140a+49 &\equiv 29\pmod{100} \\ 40a &\equiv 80\pmod{100} \\ 4a &\equiv 8\pmod{10} \\ a &\equiv 2，\ 7\pmod{10} \end{aligned}$

情形2给出了两个可能的两位数解 $x$： $27$和 $77$．

唯一可能的两位数解是 $23$， $27$， $73$, $77$．其中最大的是 $77$．

在数论的其他问题中，个案工作的应用不那么明显，但应用其他技术可能导致需要个案工作的情况。

在下面的问题中，是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/vietas-formula/" class="wiki_link" title="Vieta的公式" target="_blank">Vieta的公式会帮你找到解决方案的一部分。然后，有必要考虑不同情况下的值会导致整数根。

案例工作的应用在组合学和概率问题中很常见。将一个计数或概率问题分解成几个部分可以得到一个有效的计算。

在下面的问题中，考虑根据立方体上的颜色相邻情况将颜色划分为不同的情况。

下面的问题对那些学习过的人来说似乎很熟悉<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rectangular-grid-walk-no-restriction/" class="wiki_link" title="矩形网格走" target="_blank">矩形网格走．然而，有趣的是，它也可以对角移动。考虑将这个问题分解成依赖于人对角线移动多少次的情况。

个案工作在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/truth-tellers-and-liars/" class="wiki_link" title="讲真话的人,骗子" target="_blank">讲真话的人,骗子问题。它允许人们考虑每一种情况哪些人在说真话，哪些人在说谎。

个案工作对<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/k-level-thinking/" class="wiki_link" title="K-level思考" target="_blank">K-level思考问题。这些问题通常要求您将问题简化为更小的情况，然后使用更小的情况来解决更大的情况。