不把笔从纸上拿开，所有连续函数都能画出来吗?

这是关于常见的误解．

这是对的还是错的?

所有连续函数都可以不用从纸上拿起笔来画。

为什么有些人说这是真的:由于“连续”的名称，在他们看来，这些函数可以连续地绘制，没有任何中断或中断。通常学生在低年级的时候就是这样教的。

为什么有些人说它是错误的:好吧，有微积分基础知识的人实际上不会说这是错误的，因为连续函数在上述松散意义上是连续的这个想法足以让他们求解普通的面向应用的和。

这个陈述是 $颜色\ {# D61F06} {\ textbf{假}}$．有连续函数，如果不把笔从纸上拿起来就不能画出来。

解释:

让我们首先从连续函数的正式定义开始。让 $A\subseteq R, f:A\右tarrow R$而且 $在c \$．然后 $f$据说是连续的 $c$如果给定 $\ varepsilon > 0$存在一个 $\δ> 0$这样如果 $在x \$而且 $\左| x-c \右| <\delta$,然后 $\左| f(x)-f(c) \右| <\varepsilon$．如果 $f$不是连续的 $c$，则在处不连续 $c$．现在请注意，这个定义并没有提到是否 $c$是极限点吗 $一个$或者不是(极限点或聚类点是这样的点，它们的任意小邻域都包含无穷多个点 $一个$)．如果 $c$是这样吗，那么我们还要检查以下三个条件来证明其连续性呢 $f$在 $c$：

$\水平间距{。7cm} \text{(i)}$ $f$必须在 $c$，所以 $f (c)$是有意义的。
$\quad \text{(ii)}$的极限 $f$在 $c$必须存在于 $R$．
$文本\四\ {(iii)}$极限值必须等于点的函数值 $c$．

然而,如果 $c$难道不是一个极限点吗 $一个$，我们看到存在一个邻域 ${V}_{\delta}\左(c \右)$的 $c$这样 $\帽{V} _{\三角洲}\离开(c \右)= \ \ {c正确\ \}$．因此，我们得出结论: $f$在它的定义域内的这些点默认是连续的吗 $一个$，这些都不是限制点 $一个$，即为的“孤立点” $一个$．

例子:

让 $f: N \ rightarrow R$是这样的函数 $f\left(x\ right) =x~ \forall x\in N$．然后 $f$看起来是不连续的，但实际上不是。它的定义域只由孤立的点组成。