黑体辐射
许多人认为马克斯·普朗克在20世纪初对黑体辐射的研究是量子力学和现代物理学的开端。毕竟,考虑到普朗克时代的技术,黑体可能代表了最简单的宏观系统,显示出对经典物理的明显偏离,这很容易测量。
一个理想的黑体吸收所有入射的电磁辐射,所有的电磁辐射都是随后发生的再次辐射.在热平衡状态下,黑体吸收能量的速率等于它辐射能量的速率。利用统计物理的原理,可以表明得出的辐射黑体的光谱分布只取决于它的温度 .
紫外灾难
在热力学上,我们可以把黑体本质上模拟成光子气体。一般来说,我们可以认为每个光子都有一定的能量 作为频率的函数 经典的假设是 是独立于 此外, 允许连续变化。在哪里 表示玻尔兹曼常数,这些假设导致Rayleigh-Jeans法律
这就给出了黑体的光谱能量密度(每体积每频率的功率)。
光谱能量密度由
在哪里 光子和的平均能量是多少 表示每频率的光子密度 .统计力学给出光子遵循玻尔兹曼分布 ,所以平均能量是
同时,可以看出光子的密度为
因此
对小 ,瑞利-牛仔裤定律与实验值相当吻合。然而,对于更大的 比如光谱中的紫外线部分,瑞利-牛仔裤分布完全失效。更糟糕的是,这种形式 是无限的 生长大。当综合整个光谱,瑞利-牛仔裤分布将表明黑体辐射无限的能量,这个问题后来被称为“紫外线灾难”。
普朗克定律
有许多失败的方法来解决紫外线灾难。普朗克的关键见解是,如果不允许光子获得任意的能量,而只能量化(离散)倍与它们的频率成正比,然后得到正确的频谱。特别地,普朗克认为存在某个常数 使光子的能量具有频率 可以是的任何整数倍吗 ,或
为正整数 .
当全部加起来时 ,可以得到光子的平均能量,得到的能谱有形式
与瑞利-牛仔裤法不同的是,它会以 生长大。
就像推导瑞利-牛仔裤定律一样,计算平均光子能量 和光子密度 ,能谱密度为
在哪里 光子和的平均能量是多少 表示每频率的光子密度 .假设光子能量的离散分布 ,平均能量可以通过计算得到
(这些总和可以用标准的几何级数法来计算。)
和之前一样,光子密度是
因此,
也就是普朗克分布。
当时,普朗克研究了 作为一个纯粹的数学“把戏”,但最终人们清楚地认识到光的量子化是有物理基础的,这在几年后爱因斯坦的解释中得到了充实光电效应.
因为黑体发出的辐射是各向同性(所有方向相同),它认为强度(单位面积功率)的辐射是简单的 .因此,我们可以用强度和波长来表示普朗克定律
可以表明,达到最大强度的波长是成正比的 :
这个结果被称为维恩位移定律.比例常数是维恩位移不变 .
一般来说,当黑体升温时,其发射光谱会转变为高能光谱,即波长较短或频率较高的发射光谱。
恒星的辐射
作为第一个近似,许多物体,如恒星,可以被视为理想黑体,普朗克定律适用于这些物体。例如,可以通过实验确定太阳的峰值强度约为 ,所以维恩位移定律给出了太阳的温度是
(实际上,恒星的温度是通过测量它们的发射光谱来确定的。)
普朗克分布可以在整个光谱上积分,以显示辐射强度(单位面积功率)。 正比于温度的四次方 ,这个结果被称为斯蒂芬玻尔兹曼定律:
在哪里 是斯蒂芬玻尔兹曼常数
这让我们可以计算,比如说,总功率 由太阳发出的。因为来自太阳的辐射是在一个半径为球面上发射的 ,你会发现
的值 获得, 收益率 .
宇宙温度:
宇宙微波背景辐射(CMB)起源于早期宇宙的热等离子体。假设我们把CMB的源看成一个黑体。如果宇宙以恒定的速度膨胀它的体积 是由
在哪里 是哈勃常数,则宇宙微波背景辐射释放的总能量为
在哪里 是CMB的温度。因为能量是守恒的,随着时间的推移,宇宙的温度会变成
换句话说,随着宇宙的膨胀,它的温度会逐渐降低 CMB的当前温度大约是
笔记
从历史上看,科学家不会将电磁辐射称为光子,而是将其称为振荡波(第一个这样做的是爱因斯坦)。但同样的论点本质上是适用的。