算术谜题-运算符搜索

操作符搜索是一种算术难题，你需要在给定的方程中找到合适的数学运算符，使方程成立。在下面的例子中，如果我们考虑4个数学运算符 $(+， -， \times， \div)$，那么就有 $4 ^ 3 = 64$可能的组合:

$\水平间距{5厘米}1 \ \ \平方,2 \ \ \平方,3 \ \ \广场,4 \ = 10。$

我们要把64种可能的组合都列出来吗?不一定!当然有办法减少检查病例的数量。然而，你应该记住，不一定有唯一的解决方案，有些谜题甚至没有解决方案!

在本wiki中，我们将只使用4个数学运算符 $(+， -， \times， \div)$,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-operations/" class="wiki_link" title="BODMAS操作顺序" target="_blank">BODMAS操作顺序除非另有说明，否则均适用。到最后，您应该能够确定一些可以帮助您轻松解决这些问题的技巧。

操作员搜索谜题类似于它们的姐妹页面，<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/arithmetic-puzzles-fill-in-the-blanks/" class="wiki_link" title="填空" target="_blank">填空因为前者是在给定数字的情况下填充运算符，而后者是在给定数学运算符的情况下填充数字。

1.每一个 $\广场$只能用数学运算符代替。 $$

例如, $\ \ \广场,b = \开始{病例}{a + b \ \文字{或}}\ \ {a - b \ \文字{或}}\ \ {\ b \ \文本{或}}\ \ {a \ div。}\{病例}结束$ $$

2.每一个都需要进行数学运算 $\广场。$ $$

特别地，没有数字的组合。例如, $1 \， \square \， 2 = 12$是不允许的。 $$

3.数字是按一定顺序固定的。 $$

请记住，我们不能重新排列数字，即。 $8 \ \方形\ 4 \ne 4 \ \方形\ 8$．这是因为在假定数字的位置是固定的基础上，每个正方形表示一个数学运算符。

另一个明确的例子是， $A \， \方形\，B \， \方形\，C$与以下任何一种都不相同:

$\开始{数组}{c}和\ \ \,c \ \ \广场,B, B \, \ \广场,一个\ \ \广场,c,乙\,\ \广场,c \ \ \广场,,明目的功效\,\广场\ B \ \ \广场,,明目的功效\,\ \广场,一个\ \广场\ B \最终数组{}$ $$

4.遵守操作顺序。 $$

像往常一样，跟着<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-operations-parentheses/" class="wiki_link" title="BODMAS约定" target="_blank">BODMAS约定，我们应该总是先解圆括号、乘法和除法。例如，对于下面的表达式:

$\大2 \方形\ 2 \方形\ 2 \方形\(2 \方形\ 2 \方形\ 2)$

如果五个正方形(从左到右)表示 $+ \times \times \div -，$然后

$\{对齐}\ \广场2号开始\ \ \广场2号\ \ \广场2号\ [2 \ \ \ 2 \ \ \ 2)& = & 2 + 2 \ times2 \ * (2 \ div2-2) \ \ & = & 2 + 4 \ * (1 - 2) \ \ & = & 2 + 4 \ * (1) \ \ & = & 2 + (4 ) \\ &=& - 2。结束\{对齐}$

下面是一个简单的例子:

$\大3\方3\方3\方3\方3\方3$

确定上面表达式的值，其中4个正方形(从左到右)表示以下操作符: $$

$\开始{数组}{r r l}{我& \文本 )} & + - \ * \ div \ \ & \文本{ii)} & - \ \ div + \ \ & \文本{iii)} & \ \ div + -\\ & \ 文本{iv)} & \ div + - \ \{数组}结束$

---

通过遵循运算的顺序，我们得到的答案 $3 3 3 -5$为 $\text{i)， ii)， iii)， iv)，}$分别。 $_ \广场$

我们如何解决算子搜索问题?如果我们不知道更好的方法，我们会从随机输入操作符序列开始。虽然不是最有效的方法，但<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/trial-and-error/" class="wiki_link" title="试错" target="_blank">试错这种方法允许我们通过研究所有可能的情况来获得所有可能的结果，并确定满足给定标准的解决方案。

注意，由于每个方块被限制为只有四个操作符，因此由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rule-of-product/" class="wiki_link" title="乘积法则" target="_blank">乘积法则的可能情况的数目 $N$广场是 $\ displaystyle 4 ^ N$．因此，因为有更多的方块，这个过程变得更加繁琐。

$\large 2 \ \square 3 \ \square 6 = 1$

确定所有数学运算符对，使上面的算术难题为真。

---

列出所有 $4^2 = 16$我们有可能的组合

$\开始{数组}{c c c c | | | | c } & + & - & \ * & \ div \ \ \线+ & 2 + 3 + 6 = 11 & 2 + 3 - 6 = 1 & 2 + 3 \ * 6 = 20 & div 6 = 2 + 3 \ \压裂{5}2 \ \ \线- 2 - 3 + 6 = 5 & 2 - 3 - 6 = 7 & 2 - 3 \ * 6 = -16 & 2 - 3 \ div 6 = \压裂{3}2 \ \ \线\ * & 2 \ * 3 + 6 = 12 & 2 \ * 3 - 6 = 0 & 2 \ * 3 \ * 6 = 36 &颜色\ {# 3 d99f6} {2 \ * 3 \ div 6 = 1} \ \ \线\ div & 2 \ div3 + 6 = \压裂{20}3 & 2 \ div3 - 6 = \压裂{16}3 & 2 \ div3 \ * 6 = 4 & 2 \ div3 \ div6 = \ frac19 \ \结束\{数组}$

通过列出所有可能的组合，我们可以得出结论，只有一个解，即 $2 \times3\div6 = 1$．因此，满足给定方程的两个数学算子(从左到右)是 $\ *$而且 $\ div。$ $_ \广场$

我们应该记住，即使我们发现了一个合适的解决方案，我们仍然必须继续寻找其他可能的解决方案。这是因为并非所有问题都有唯一的解决方案。

$\大3 \方5 \方6$

确定所有数学运算符对，使上面的算术难题产生一个整数。

---

列出所有 $4^2 = 16$我们有可能的组合

$\开始{数组}{c c c c | | | | c } & + & - & \ * & \ div \颜色\ \线+ & \ {# 20 a900}{3 + 5 + 6 = 14} &颜色\ {# 20 a900}{3 + 5 - 6 = 2} &颜色\ {# 20 a900} {3 + 5 \ * 6 = 33} & 3 + 5 \ div 6 = \压裂{23}6 \ \ \线- & \彩色{# 20 a900}{3 - 5 + 6 = 4} &颜色\ {# 20 a900}{3 - 5 - 6 = 8} &颜色\ {# 20 a900}{3——5 \ * 6 = -27}& 3 - 5 6 \ div = \压裂{13}6 \ \颜色\线\ * & \ {# 20 a900}{3 \ * 5 + 6 = 21} &颜色\ {# 20 a900}{3 \ * 5 - 6 = 9} &颜色\ {# 20 a900}{3 \ * 5 \ * 6 = 90} & 3 \乘以5\div6 = \frac{5}{2} \\ hline \div & 3 \div5 + 6 = -\frac{27}5 & 3 \div5 \times 6 = \frac{18}5& 3 \div5 \div6 = \ fra1 {10} \\ \end{array}$

通过列出所有可能的组合，我们可以得出结论，有9个解，这样算术题就会产生一个整数解。 $_ \广场$

对于这个例子，真的有必要处理所有16个案例吗?看起来很乏味，不是吗?是的，有一个小技巧可以减少你的工作量。

请注意, $3 \ div 5$不是整数，那么 $3\div 5 \ \square \ 6$不可能是整数。这是因为 $6$不是分母的倍数吗 $5$．同样的, $5 \ div6$不是整数，那么 $3\ \square \ 5 \div$不可能是整数。这是因为 $3.$不是分母的倍数吗 $6$．换句话说，这两个都不对 $3 \ \方\ 5 \ \方\ 6$可以有除法符号吗 $(\ div)$使表达式产生整数。

用这个简单的小技巧，你能解出前面的例子吗? $1 \ \square \ 2 \square \ 3 \square \ 4 = 10$?

在一些问题中，我们对可能解的个数不感兴趣，而是需要找出结果数的所有可能性。我们想知道可能的最大值和最小值是多少，这可以帮助我们确定是否可以达到某个数字。试错可以让我们得到所有的结果，但如果有很多可能性，那就需要做更多的工作。

1.最大的解决方案

假设我们对算子搜索问题的最大可能结果数感兴趣。不列出所有可能的结果，我们怎么能找到它呢?

$\大5 \方6 \方7 \方8$

以上面的表达式为例。嗯，我想到了一个想法，我们应该考虑把它们加起来: $5+6+7+8 = 26$．然而，最大的值将由所有这些数字相乘形成: $5 \ times6 \ times7 \ times8 = 1680$．

一般来说，把所有的项相乘总是更好的。当涉及到数字1时，这个规则有一个轻微的例外。在这种情况下，因为 $1 + x > 1 \乘以x$在美国，必须稍微小心地考虑各种可能性。

下列运算符搜索谜题的最大结果数是多少? $$

$\开始{数组}{r r l} \ \ & \文本{i)} & 2 \ \ \平方,3 \ \ \广场,4 \ \广场\ 5 \ \ & \文本{ii)} & 1 \ \ \平方,2 \ \ \平方,3 \ \ \广场,4 \ \广场\ 5 \{数组}结束$

---

我)要使表达式最大，所有的平方都必须是乘法号 $(\)。$因此答案是 $2 \ times3 \ times4 \ times5 = 120$．

(二)就像在 ${我)}\文本,$你可能会想在所有的平方处都有乘法符号。但是你可以稍微改进一下。因为任何数乘以1就是它本身，我们可以使用另一个运算符来增加结果数。在这种情况下，它是加号 $(+)$因此最大值是

$1\， \square \， 2\， \square \， 3\， \square \， 4 \， \square \， 5 = 1+2\times3\times4 \times5 = 121。\ _ \广场$

2.正负值

在前面的例子中 $3 \ \方\ 5 \ \方\ 6$，我们可以确定，所有的 $4 ^ 2 = 16$可能的值，负数的个数而不列出它们?

嗯,是的!注意的操作 $+ \时报\ div$不会改变结果数的符号。因此，如果两个平方都不是负号，那么结果就是正数。换句话说，为了使结果为负数，两个平方中至少有一个必须是减号。

由于这只是一个必要条件，我们仍然必须检查所有的情况，以防其中一些产生正值。

$\{对齐}开始3 - 5 - 6 & = & 8 < 0 \ qquad \ qquad \ qquad(1) \ \ \ \广场3 - 5 \ \ \ 6 &:& \开始{病例}{3 - 5 + 6 = 4}\ \ {3 - 5 \ * 6 = -27 < 0 \ qquad (2)} \ \ {3 - 5 6 \ div6 = \压裂{13}}\结束{病例}\ \ \ \ 3 \ \ \广场5 - 6 &:& \开始{病例}{3 + 5 - 6 = 2}\ \ {3 \ times5-6 = 9} \ \ {3 \ div5-6 = - \压裂{27}5 < 0。\qquad (3)} \end{case} \\ \end{aligned}$

所以有三个解 $3 \ \方\ 5 \ \方\ 6$得到一个负数。看到快了多少了吗?我们不需要再把16个案子都看一遍了!现在，把你学到的应用到下面的问题上:

3.最小的解决方案

与上面讨论的最大解一样，假设我们对运算符搜索问题的最小可能结果数感兴趣。不列出所有可能的结果，我们怎么能找到它呢?最小的解可能有点棘手。让我们考虑上面同样的问题。

$\大5 \方6 \方7 \方8$

我们是否应该考虑所有减号: $5- 6-7-8 = -16?$那么所有除法符号呢: $5 \div 6 \div 7 \div 8 =\frac5{336} ?$结果这两种方法都不起作用。一个更小的值是 $5 - 6 \ times7 \ times8 = -331$．但我是怎么知道的呢 $4 ^ 3 = 64$组合呢?很简单!我们只需要减去尽可能大的数!因为我们从 $5$在这个例子中，我们只需要从中减去最大的可能值，即。 $6 \ times7 \ times8$．简单,是吧?就像最大的解决方案一样，这个规则可能会有轻微的例外，特别是当涉及到数字1时。

例如, $广场2 \ \ \ 1 \ \ \平方,3 \ \ \广场,4 \ \ \广场,5$当前两个方格为减号时，产生较小的值。也就是说, $2-1 - 3\times4\times5 < 2-1\times3\times4\times5$．

现在，所有这些的范围 $4 ^ 3 = 64$不一定是不同的数只是最大和最小的结果数之间的差。

$\大2 \方形\ 3 \方形\ 4 \方形\ 5$

有 $4^3 = 64$我们可以用什么方法填满上面的方格 $+， -， \times， \div$．求出它们的值域 $4 ^ 3 = 64$数字。

---

最大的可能值是 $2 \ times3 \ times4 \ times5 = 120$．可能的最小值为 $2-3\times4\times5 = -58$．因此，值域为 $120 -(-58) = 178。\ _ \广场$

4.多个解决方案

如果我们想确定算子搜索方程成立的所有可能解，那么几乎每次都要进行试错。考虑下面的等式:

$(1 \ \ \平方,2 \ \ \平方,3),\ \ \广场,4 = 6。$

首先处理括号内的，我们有

$\开始{数组}{c c c c | | | | c } & + & - & \ * & \ div \ \ \线+ & 1 + 2 + 3 = 6和1 + 2 - 3 = 0和1 + 2 \ * 3 = 7 & 1 + 2 \ div 3 = \压裂{5}3 \ \ \线- & 1 - 2 + 3 = 2 & 1 - 2 - 3 = 4 & 1 - 2 \ * 3 = 5 & 1——2 \ div 3 = \压裂{1}3 \ \ \线\ * & 1 \ * 2 + 3 = 5 & 1 \ * 2 - 3 = 1 & 1 \ * 2 \ times3 div = 6 & 1 \ * 2 \ 3 = \ frac23 \ \ \线\ div & 1 \ div2 + 3 = \压裂{7}2 & 1 \ div2 - 3 = \压裂{5}2 & 1 \ div2 \ * 3 = \ frac32 & 1 \ div2 \ div3 = \ frac16 \ \ \{数组}结束$

经过反复试验，在这16个数字中，只有两个满足条件，即。 $1\div2\times3\times4 = 6$而且 $1 - 2 + 3 + 4 = 6$．

如果我们被允许使用所有4个运算符，那么我们就必须使用试错和检查大多数情况。但是，如果我们把运算符限制在加法上 $(+)$和减法 $(-),$还有一些其他的技巧可以用来解决这个问题。

1.最大值和最小值 $$

为了求最大的值，我们只需要所有的平方都是加号 $(+)。$类似地，要找到最小的值，我们只需要所有的平方都是减号 $(-)。$的最大值和最小值作为显式示例 $1\ \平方\ 2\平方\ 3 \平方\ 4$是 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$而且 $1 - 2- 3- 4 = -8，$分别。 $$

2.奇偶校验参数 $$

在本节中，我们将应用奇偶校验来解决这些算术难题。如果你不熟悉这个概念，请阅读<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic-parity/" class="wiki_link" title="模算术-奇偶校验" target="_blank">模算术-奇偶校验．

$\大的1 \，\方形\，2 \，方形\，3 \，方形\，4 = 5$

考虑上面的等式。在只有两个操作符的限制下，我们如何确定所有可能的解?

让我们打个比方，我们把所有的正方形都看成电灯开关!

想象一下，打开一个灯泡是一个加号 $(+)。$
想象一下，把灯泡关掉当作减号 $(-)。$

对于等式左边，打开所有的灯泡，我们得到的值是 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$，我们称之为初始状态．观察一下，如果我们要改变任何符号，那么表达式的值将改变两倍的数字。这意味着结果的奇偶性仍然没有改变!我们找到了一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/invariant-principle-definition/" class="wiki_link" title="不变的" target="_blank">不变的:无论我们改变多少个符号，表达式仍然具有相同的奇偶性。

找到所有的解 $$

$广场1 \ \ \ 2 \ \ \平方,3 \ \ \广场,4 = 5。$

---

自 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$是偶数，我们知道改变符号仍然会使数字是偶数，因此没有办法得到奇数5。因此没有解决办法。 $_ \广场$

3.奇偶校验的子集和 $$

$\ \ \ \大1 \ \广场,2 \ \ \平方,3 \ \ \广场,4 = 6。$

现在，这个问题是上面前面的例子问题的一个轻微变化。如下式所示，我们首先将所有原始数字相加，然后只减去带减号的数字 $(-)$两次。

$\开始{对齐}1 + 2 + 3 - 4 & = &(1 + 2 + 3 + 4)- \颜色20 a900}{# 2(4) = 10 - 8 = 2 \ \ 1 + 2 - 3 + 4 & = &(1 + 2 + 3 + 4) - \颜色20 a900}{# 2(3) = 10 - 6 = 4 \ \ 1 - 2 + 3 + 4 & = &(1 + 2 + 3 + 4) - \颜色20 a900}{# 2(2) = 10 - 4 = 6 \ \ 1 - 2 - 3 + 4 & = &(1 + 2 + 3 + 4) - \颜色20 a900}{# 2(2 + 3) = 10 - 10 = 0 1 - 2 + 3 \ \ 4 & = &(1 + 2 + 3 + 4) - \颜色20 a900}{# 2(2 + 4) = 10 - 12 = 2 \ \ 1 + 2 - 3 4 & = &(1 + 2 + 3 + 4) - \颜色20 a900} {# 2 (3 + 4) = 10 - 14 = 4 \ \ 1 - 2 3 4 & = & (1 + 2 + 3 + 4) -\color{#20A900}2(2+3+4) = 10 - 18 = -8。结束\{对齐}$

换句话说，我们寻找一个或多个值的和的两倍 $\{2、3、4 \}$这样两倍和和之间的差初始状态是方程RHS上的数，是多少 $6$在这个问题中。

简而言之，在这个问题中我们寻找的是 $\{2、3、4 \}$使其元素的和等于

$\frac12((1+2+3+4)-6) = 2。$

简单,是吧?我们可以用灯泡做类比来解决这个难题!

让我们试试另一种情况。使用上面的灯泡类比，我们还可以解决一个只有2次幂的运算符搜索谜题。假设我们想解以下方程:

$\大1 \平方\ 2 \平方\ 2^2 \平方\ 2^3 \平方\ 2^4 \平方\ 2^5 = 15$

通过考虑初始状态，我们有 $1 + 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 = 63$，我们想求的值 $x$这样 $63 - 2x = 15$．解决它会得到 $x = 24日$也就是说我们现在需要求的是的幂的和 $2$这些加起来就是 $24$．所以我们应该关掉对应的灯泡 $2 ^ 3$而且 $2 ^ 4$因为 $2 ^ 3 + 2 ^ 4 = 8 + 16 = 24。$也就是说,

$1 + 2 + 2^2 - 2^3 - 2^4 + 2^5 = 15。$

$\大1 \平方\ 2 \平方\ 2^2 \平方\ 2^3 \平方\ 2^4 \平方\ 2^5 \平方\ 2^6 \平方\ 2^7 = 47$

有 $2^7 = 128$填满正方形的方法 $+、-$．确定这两个数学运算符的正确组合，以满足上面的方程。

---

通过使用灯泡的类比，我们首先得到初始状态: $1+2+2^2+2^3+2^4+2^5 +2^ 6 +2^ 7 = 255，$哪个是a的和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-progression-sum/" class="wiki_link" title="几何级数" target="_blank">几何级数．解 $x,$我们有 $255 - 2x = 47 \右tarrow x = 104。$

我们要求2的不同幂之和等于104。用104减去2的最高次幂 $104 - 2^6 = 40$．我们重复这个过程得到 $40 - 2^5 = 8$并最终 $104 = 2^3 + 2^5 + 2^6。$因此，下式成立:

$1 + 2 + 2^2 - 2^3 + 2^4 - 2^5 - 2^6 + 2^7 = 47。$

因此，数学运算符的正确组合是 $\begin{array}{c}&+ &+ &- &+ - &- &+。\ _\square \end{array}$

的24个游戏是一种用一副牌玩的运算符搜索谜题。我们鼓励你和一群朋友一起玩这个游戏，看看你是否能打败他们。

玩游戏时，从52张标准牌中抽4张。数字卡的值与数字相对应，而j、q、k和a的值分别为11、12、13和1。我们的目标是成为第一个用包含所有4个数字的基本算术运算正确构成数字24的人。要赢得这场比赛，你需要快速的思维，良好的心算和大量的练习!

根据本页，我们仅限于加法、减法、乘法和除法的运算。然而，我们被允许这样做

1. 由于没有指定顺序，所以按照我们的意愿重新排列数字，并且
2. 我们可以随意使用括号。

用下面的手玩24局游戏:

有多种解决方案，所以在看答案之前尝试一下!

$\begin{aligned} 4 + 6 + 6 + 8 &= 24\\ (4 - 6 \div 6) \ * 8 &= 24\\ - (4\ * 6) + (6 \ * 8)& = 24\\ -4 + 6 \ * 6 - 8 &= 24\\ (6 + 6) \ * 8 \div 4 &= 24。结束\{对齐}$

如果你发现更多，请加入!

作为一个挑战，玩24游戏与以下手:

这并不容易，所以在看下面的解决方案之前花点时间思考一下。

$8\div (3 - 8\div 3) = 8\div \frac{1}{3} = 24。$

考虑到我们以上的成功，任何4张手牌的结果都是24张吗?走出 ${4 + 13 - 1 \choose 4} = 1820$可能的四张牌手牌(回顾<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integer-equations-star-and-bars/" class="wiki_link" title="明星和酒吧" target="_blank">明星和酒吧为了进一步了解细节)，结果是大约1362年 $(\约72 \%)$它们都有解决方案。给定一张4张牌的手牌，主要的证明方法是存在的没有解决方案就是遍历所有可能的数字和运算组合。如果你感兴趣，你可以写一个计算机程序来表明下面的指针没有解:

1. 操作顺序．
2. 算术谜题-填空．