平方根逼近

平方根是数学中常见的函数。从数学领域到物理领域，它都有广泛的应用。有时很难计算一个数的平方根，尤其是那些不是一个数的平方的数。我们通常采用的方法是繁琐的小数工作。这里有一个指南，找到平方根，或者更确切地说，他们的近似值。

让 $n$是我们需要计算其平方根的数。让 $n$可以写成 $p + q$在哪里 $p$小于的最大完全平方数 $n$而且 $问$是任何正实数。然后,

$大概{n} = \ \ sqrt {p + q}≈\√6 p{} + \压裂{q}{2 \√{p} + 1}$

大约是968的平方根。

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我们先求小于的平方数 $968$．要做到这一点，我们需要进行比较 $968$用很容易算出的完全平方 $30 ^ 2 = 900$．

很明显,

$900 < 968$

因此,

$30 < \ sqrt {968}$

现在试试另一个大于的数的平方 $30.$就像 $31 ^ 2 = 961$而且 $32 ^ 2 = 1024$．

很明显,

$961 < 968 < 1024$

$31日< \ sqrt {968} < 32$

现在应用我的公式，

$大概{968}= \ \ sqrt{961 + 7}≈\ sqrt{961} + \压裂{7}{2 \√{961}+ 1}$

$\sqrt{968}≈31+\frac{7}{2(31)+1}$

$\sqrt{968}≈31+\frac{7}{63}$

$\sqrt{968}≈31+\frac{1}{9}$

$\sqrt{968}≈\boxed{31.11}$

你可以把答案平方来交叉核对 $(31.11) ^ 2 = 967.8321$．

这确实是一个很好的近似。

下面是上述公式的证明。

公式的证明就在公式本身。下面的公式是基于两个完全平方之间的根是均匀分布的假设。

为了更好地理解它，我们可以用一个图表

我们知道 $2 \√{p} + 1$整数存在于完全平方之间 $p$而且 $(\√6 p{} + 1)²$．

让,

$n$之间存在的任何实数 $p$而且 $(\√6 p{} + 1)²$．同时, $阻燃剂=问$．

所以,

$\ sqrt {n}$将存在于 $\√6 p {}$而且 $\√6 p {} + 1$．

很明显，两者之间的区别 $\√6 p {}$而且 $\√6 p {} + 1$是 $1$,现在 $2 \√{p} + 1$根之间可以均匀分布 $\√6 p {}$而且 $\√6 p {} + 1$，如果每个根占用 $\压裂{1}{2 \√{p} + 1}$空间。

的 $问^ {th}$数量将占据 $\压裂{q}{2 \√{p} + 1}$空间。因此公式是

$大概{n} = \ \ sqrt {p + q}≈\√6 p{} + \压裂{q}{2 \√{p} + 1}$

这一节讨论传统的求平方根方法。这种方法更准确，但也很繁琐。