补方的应用

补全平方就是把一个二次方程从 $Ax ^2 + bx + c =0$来 $A (x-p)²+ q = 0$,在那里 $A, b, c, p, q$是常数。

这是一种非常有用的技术，有多种用途。

抛物线的顶点可以通过完成抛物线方程中的平方来求出。考虑一个抛物线，它的方程是 $y = ax ^ 2 + bx + c。$完成这个方框得到

$\{对齐}开始y = ax ^ 2 + bx + c \ \ y = \离开(x ^ 2 + \压裂{b} {x} \右)+ c \ \ y = \离开(x ^ 2 + 2 \ cdot \压裂{b} {2} x + \压裂{b ^ 2} {4 a ^ 2} \右)- \压裂{b ^ 2} {4} + c \ \ y = \离开(x + \压裂{b}{2} \右)^ 2 - \压裂{b ^ 2-4ac}{4}。结束\{对齐}$

根据平方的性质，当被平方的变量等于零时，平方的值最小为零，随着被平方的变量绝对值的增加，平方的值增加。因此，整个表达式 $ax ^ 2 + bx + c,$或 $留下(x + \ \压裂{b}{2} \右)^ 2 - \压裂{b ^ 2-4ac} {4}$什么时候会有一个极值 $x + \压裂{b}{2} = 0。$堵塞 $x = - \压裂{b} {2}$得到的等式 $y = - \压裂{D} {4},$现在我们知道了顶点的坐标 $\离开(- \压裂{b}{2} - \压裂{D}{4} \右),$在哪里 $D$是二次方程的判别式。

求的范围 $F (x) = ax^2 + bx + c$可能需要花点功夫。然而，一旦完成了正方形，可以在短短几秒钟内找到范围。在完成这个方块之后，我们有

$\{对齐}开始y = ax ^ 2 + bx + c \ \ y = \离开(x ^ 2 + \压裂{b} {x} \右)+ c \ \ y = \离开(x ^ 2 + 2 \ cdot \压裂{b} {2} x + \压裂{b ^ 2} {4 a ^ 2} \右)- \压裂{b ^ 2} {4} + c \ \ y = \离开(x + \压裂{b}{2} \右)^ 2 - \压裂{b ^ 2-4ac}{4}。结束\{对齐}$

我们在前一节中讨论过，当 $x = - \压裂{b}{2}。$这是最大值还是最小值取决于的符号 $一个。$我们知道 $左(x + \ \压裂{b}{2} \右)^ 2 \ geq0$(因为它是正方形的)。因此,如果 $> 0,$极值是最小值，范围是 $左\[- \压裂{D}, {4} \ infty \右)。$当 $< 0,$函数有一个最大值，它的值域是 $\左(- \ infty \压裂{D}{4} \]。$

求的范围 $F (x) = a(x-p)²+ q$,在那里 $一个$是正实数。

---

变量项 $f$是 $(xp) ^ 2$．因为它是完全平方，所以它的值域都是非负实数 $[0, \ infty)$．后添加 $问$，它是一个常数，的范围 $f$就变成了 $[q \ infty)$． $_ \广场$

注:我们还可以找到的值 $x$最小值出现的点。这是当 $X - p = 0$,也就是说, $x = p$．

求的范围 $F (x) = a(x-p)²+ q$,在那里 $一个$是负实数。

---

现在的范围 $(xp) ^ 2$是 $(- \ infty 0]$,因为 $一个$是负的。后添加 $问$的范围。 $f$就变成了 $(- \ infty问)$，我们就完成了。 $_ \广场$

注意:同样，在极端情况下 $x$协调是 $p$．

求的范围 $F (x) = x²+ 2x + 4$．

---

完成这个平方后，我们得到 $F (x) = (x+1)²+ 3$，表示其取值范围为 $[3 \ infty)$． $_ \广场$

很多时候，对一个二次表达式进行因式分解变得很困难，特别是当根是无理根或复根时。这就是完成正方形的帮助。任何二次元的因式分解都可以通过完成平方然后使用恒等式来完成 $一个^ 2 b ^ 2 = (a + b) (a - b)。$

给定一个二次方程 $ax ^ 2 + bx + c = 0,$如果我们能成功地把它变成形式 $(x + m) ^ 2 n ^ 2 = 0,$然后用两个平方恒等式的差进行因式分解，很容易得到它的两个根。操作步骤如下:

$\{对齐}开始ax ^ 2 + bx + c = 0 x ^ 2 + \ \ \ dfrac {b}{一}x + \ dfrac {c}{一}& = 0 x ^ 2 + \ \ \ dfrac {b}{一}x + \ dfrac {b ^ 2} {4 a ^ 2} + \ dfrac {c}{一}& = \ dfrac {b ^ 2} {4 a ^ 2} \ \ \ Bigl (x + \ dfrac {b} {2} \ Bigr) ^ 2 + \ dfrac {c} {} - \ dfrac {b ^ 2} {4 a ^ 2} & = 0 \ \ \ Bigl (x + \ dfrac {b} {2} \ Bigr) ^ 2 - \ dfrac {b ^ 2-4ac} {4 a ^ 2} & = 0。结束\{对齐}$

注意，现在方程式已经成形了 $(x + m) ^ 2 n ^ 2 = 0。$然后我们应用两个平方的差恒等式，就完成了!

因式分解 $X ^2 - X - 1。$

---

首先，我们完成这个方形: $左(x - \ \ displaystyle \压裂{1}{2}\右)^ 2 - \压裂{5}{4}。$

现在使用恒等式 $A ^2 -b ^2 = (A +b)(A -b)$我们得到了

${对齐}\ \开始离开(x - \压裂{1}{2}\右)^ 2 - \压裂{5}{4}& = \离开(x - \压裂{1}{2}\右)^ 2 - \离开(\压裂{\ sqrt{5}}{2} \右)^ 2 \ \ & = \离开(\左(x - \压裂{1}{2}\右)+ \压裂{\ sqrt{5}}{2} \) \离开(\左(x - \压裂{1}{2}\右)- \压裂{\ sqrt{5}}{2} \) \ \ & = \离开(x - \压裂{1 - \ sqrt{5}}{2} \) \离开(x - \压裂{1 + \ sqrt{5}}{2} \右)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

因式分解 $X ^2 + 2x + 5。$

---

使用与上例相同的方法，我们得到 $\{对齐}开始x ^ 2 + 2 + 5 & = (x + 1) ^ 2 + 4 \ \ & = (x + 1) ^ 2 + 2 ^ 2 \ \ & = (x + 1) ^ 2 - (2) ^ 2 \ \ & = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2)。\ \ _ \广场结束{对齐}$