三维坐标几何-斜线

在三维空间中，两条不同的线有三种可能的关系。它们可以是

1. 平行，当它们的方向矢量平行且两条直线永不相交时;
2. 在一个点集合，当方向向量不平行且两条直线相交时;
3. 斜，这意味着它们永远不会相遇，也不平行。

这三种关系都可以在长方体中找到。在下图所示的长方体中，边 $\眉题{AB}$而且 $CD \眉题{}$是平行．边缘 $\眉题{AB}$而且 $公元前\眉题{}$相交于一点 $B。$边缘 $\眉题{AB}$而且 $\眉题{嗯}$是斜因为它们不是平行的，也不会相遇。

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找出所有倾斜的边 $\眉题{AE}$在下面的长方体中。

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我们应该找出所有不符合的线 $\眉题{AE}$和不平行 $\眉题{AE},$也就是边 $CD \眉题{},$ $\眉题{GH},$ $公元前\眉题{},$而且 $\眉题{FG}。$观察长方体中的任何一条边都与其他四条边倾斜。 $_ \广场$

找出所有倾斜的边 $\眉题{AB}$在下图的五角形棱镜中。

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我们应该找到所有不相交的边 $\眉题{AB}$和不平行 $AB \眉题{}。$相交的边 $\眉题{AB}$是 $\眉题{AE},$ $\眉题{AV},$ $\眉题{BW},$而且 $公元前\眉题{}。$边缘 $大众\眉题{}$平行于 $AB \眉题{}。$因此，除了这些，所有的边都是斜向的 $\眉题{AB},$也就是边 $\眉题{VZ},$ $\眉题{EZ},$ $\眉题{ED},$ $\眉题{ZY},$ $\眉题{DY},$ $\眉题{直流},$ $\眉题{y},$ $\眉题{残雪},$而且 $\眉题{XW}。$ $_ \广场$

确定以下两行之间的关系:

$\压裂{x - 1}{2} = \压裂{y}{3} = \压裂{z + 2}{5}{和}\ \四\文本四x = 4 = \压裂{z}{3}。$

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这两条直线的方向向量是 $vec {d_1} \ =(2、3、5)$而且 $vec {d_2} \ =(1, 1, 3)。$由于它们的方向向量不平行，这两条线要么在一个点相交，要么彼此倾斜。

现在我们来看看这两条线是否相交。第一个方程等于 $t$给了

$\开始{对齐}\压裂{x - 1}{2} = \压裂{y}{3} = \压裂{z + 2} {5} & = t \ \ \ Rightarrow x = 2 t + 1 \ \ y = 3 t \ \ z = 5 2,结束\{对齐}$

所以第一行上的任何一点都可以表示为 $(t 2 t + 1, 3, 5 2)。$代入第二个方程得到

$2 t + 1 = 3第四节= \压裂5{2}{3}。$

注意不存在这样的实数 $t$它满足这个方程。那么两条线不相交，所以它们是斜的(因为它们也不是平行的，正如前面所证明的那样)。 $_ \广场$

一对斜线之间(最短)的距离可以通过求得与两条斜线垂直相交的线段的长度，即 $d$如下图所示。

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求出以下一对斜线之间的距离:

$X =-y+2=-z+2\quad \text{and}\quad X -2=-y+1=z+1。$

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让 $x = - y + 2 = - z + 2$是 $l1$而且 $x - 2 z = - y + 1 = + 1$是 $l2。$我们应该求出的长度 $\眉题{AB},$哪条线段与两者垂直相交 $l1$而且 $l2。$方程的方程 $l1$与 $t$给了

$\{对齐}开始x = - y + 2 = - z + 2 & = t \ \ \ Rightarrow x = t \ \ y = - t + 2 \ \ z = - t + 2。结束\{对齐}$

因此,点 $一个$可以表示为 $(t - t + 2 - t + 2)$对于某个实数 $t。$应用同样的方法 $l2$给了

$\{对齐}开始x - 2 = - y z + 1 + 1 = & = s \ \ x = s + 2 \ \ y = s + 1 \ \ z = s - 1。结束\{对齐}$

因此,点 $B$可以表示为 $(s + 2, s + 1, s - 1)$对于某个实数 $年代。$然后是

${对齐}\ \开始overrightarrow {AB} & = (s + 2, - s + 1, s - 1) - (t - t + 2 - t + 2) \ \ & = (s - t + 2, s + t - 1, s +条t - 3)。结束\{对齐}$

现在,让 $vec {d_1} \$的方向向量 $l1,$而且 $vec {d_2} \$是… $l2。$然后是 $vec {d_1} \ = (1, 1, 1)$而且 $vec {d_2} \ =(1, 1, 1)。$自 $\ overrightarrow {AB}$应该垂直于两者吗 $vec {d_1} \$而且 $vec {d_2} \,$这一定是真的 $AB \ overrightarrow {} \ vec {d_1} = cdot \ \ overrightarrow vec {d_2} {AB} \ cdot \ = 0。$因此我们有

$\开始{对齐}\ overrightarrow vec {d_1} {AB} \ cdot \ & = 0 \ \ (s - t + 2, s + t - 1, s +条t - 3) \ cdot (1, 1, 1) & = 0 \ \ (s - t + 2) - (s + t - 1) - (s +条t - 3) & = 0 \ \ \ Rightarrow s-3t + 6 & = 0 \ qquad (1) \ \ \ overrightarrow vec {d_2} {AB} \ cdot \ & = 0 \ \ (s - t + 2, s + t - 1, s +条t - 3) \ cdot (1, 1, 1) & = 0 \ \ (s - t + 2) - (s + t - 1) + (s +条t - 3) & = 0 \ \ \ Rightarrow 3 s - t = 0。结束\ qquad(2) \{对齐}$

联立式(1)和(2)可得

$c \开始{数组}{}t = \压裂{9}{4},s = \压裂{3}{4}{数组}\结束。$

因此 $\ overrightarrow {AB} = \离开(\压裂{1}{2},\压裂{1}{2},0 \右),$两条斜线之间的距离是

${对齐}d = \ lvert \ \开始overrightarrow {AB} \ rvert \ \ & = \左\ lvert \左(\压裂{1}{2},\压裂{1}{2},0 \右)\ \ rvert \ \ & = \压裂{\ sqrt{2}}{2}。\ _\square \end{aligned}$