休斯顿，我们已经有了新产品

如果我们求所有自然数的乘积 $一个$和它们的逆矩阵 $一个^ {1}$，我们得到1，因为我们可以使用一对一映射 $\displaystyle a\rightarrow a^{-1}$因此

$\begin{aligned} \text{P} &=1\times\frac22 \times\ frac33 \times\ frac44 \times\ cdots \\ &=\prod\limits_{a\in\mathbb{N}} aa^{-1} \\ &=\prod\limits_{a\in\mathbb{N}}1\\ &=1。结束\{对齐}$

如果相反，我们使用一对一映射 $一个\ rightarrow \压裂{1}{1}$时，乘积似乎大于1，因为乘积中的每一项都大于1:

$\begin{aligned} \text{P} &= 1\times 2\ times \left(\frac32 \times \frac43 \times \frac54\right) \times \cdots\\ \displaystyle &= 2\prod\limits_{a>2\in\mathbb{N}} \frac{a}{a-1} \\ &= \infty。结束\{对齐}$

最后，如果我们选择 $一个\ rightarrow \压裂{一}{+ 1},$乘积似乎是零。

有点不对劲。怎么回事?