ZFC

ZFC,或Zermelo-Fraenkel集合理论,是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/axioms/" class="wiki_link" title="公理系统" target="_blank">公理系统用于正式定义<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/set-theory/" class="wiki_link" title="集理论" target="_blank">集理论(以及一般的数学)。

具体地说，ZFC大约是9个集合<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/axioms/" class="wiki_link" title="公理" target="_blank">公理(根据惯例和精确的表述)，这些综合起来定义了数学的核心，通过使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/set-theory/" class="wiki_link" title="集理论" target="_blank">集理论．更正式地说，ZFC是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/predicate-logic/" class="wiki_link" title="谓词逻辑" target="_blank">谓词逻辑具有二元关系 $中\$，指的是设置会员读作“in”。澄清一下，据说 $在b \$当 $一个$是 $b$．

巴纳赫-塔斯基悖论，即一个球可以被重新排列成两个与原来大小相同的球，是选择公理的反直觉结果。

在历史上，ZFC被定义为一种定义方法<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/set-theory/" class="wiki_link" title="集理论" target="_blank">集理论以一种自相矛盾的方式<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/russells-paradox/" class="wiki_link" title="罗素悖论" target="_blank">罗素悖论被避免了，尽管该理论仍有一些令人不满意的方面:特别是，它可以证明<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/axiom-of-choice/" class="wiki_link" title="公理的选择" target="_blank">公理的选择是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/independent/?wiki_title=independent" class="wiki_link new" title="独立的" target="_blank" rel="nofollow">独立的，因此省略了选择公理的ZFC仍然是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/consistent/?wiki_title=consistent" class="wiki_link new" title="一致的" target="_blank" rel="nofollow">一致的理论。这是表示ZF虽然一直如此，但它已经不再被使用，取而代之的是更自然的ZFC。

一般来说，语句在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/set-theory/" class="wiki_link" title="集理论" target="_blank">集理论表示使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/predicate-logic/" class="wiki_link" title="一阶逻辑" target="_blank">一阶逻辑，它使用了一些<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quantifiers/?wiki_title=quantifiers" class="wiki_link new" title="量词" target="_blank" rel="nofollow">量词(或逻辑符号):

• $中\$意思是“在”，就像在介绍中一样。
• $\原则$意思是“所有”;如。 $\forall n \in \mathbb{R}: n^2 \geq 0$ $\大($翻译过来就是:所有真实的 $n$， $n ^ 2 0 \ \组的大)$是一种表达<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/trivial-inequality/" class="wiki_link" title="琐碎的不平等" target="_blank">琐碎的不平等．
• $\存在$意思是“存在”;如。 $\forall x \in \mathbb{R}\ (\exists y \in \mathbb{R}: y^3 = x)$ $\大($翻译过来就是:所有真实的 $x$，有一个真实的存在 $y$这样 $y ^ 3 = x \大)$是不是说每个实数都有一个实数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cube-root/" class="wiki_link" title="立方根" target="_blank">立方根．
• $\枚$意思是“相当于”。例如, $x ^ 3 > 0 \枚x > 0$是一种表达事实的方式吗 $x ^ 3$是阳性的当且仅当 $x$是正的。
• $\意味着$意思是“暗示”。例如, $x > 0 \意味着x ^ 2 > 0$是一种表示正数平方为正数的方法。请注意, $x > 0 \ \枚x ^ 2 > 0$,因为 $x ^ 2 > 0 \意味着x > 0$是一个错误的陈述 $（$例如 $x = 1)。$
• $\土地$意思是“逻辑与”;如。 $N ^2 > 0 \land N ^3 < 0$是一种表达事实的方式吗 $n ^ 2$是积极的, $n ^ 3$是负的;即。 $n$是负的。
• $\卤$意思是“逻辑或”;如。 $N > 0 \lor N ^3 \leq 0$你是这么说的吗 $n$是积极的或 $n ^ 3$是负的。

这使得ZFC中的公理可以使用符号简洁地表述，如下面的小节所示。

ZFC的公理可以用几种等价的方式表示，并且根据来源的不同，其名称和逻辑公式略有不同。当然，每一个独立的来源都会对公理有严格的正确处理，其中之一如下:

外延性公理: $\forall u(u \in X \equiv u \in Y) \暗示X = Y$

换句话说，如果 $你在X \如果你在Y \$对所有 $u$,然后 $X = Y$．在简单的语言中，这个语句等价于“如果两个集合具有相同的元素，则它们是相同的集合”。

配对公理: $(x \in z \equiv (x = a \lor x = b)\大)，$在哪里 $\卤$表示逻辑或量词。

换句话说，对所有人来说 $一个$而且 $b$，存在一个 $z$对于所有人来说 $x$， $x \ Z$等价于" $x =一个$或 $x = b$”。在简单的语言中，这个语句等价于“给定两个元素，存在一个恰好包含这两个元素的集合”。

理解的公理:的要素 $一个$令人满意的 $\φ$形成一个新的集合 $B$

Axiom的理解: $\forall X \forall p \存在Y \forall u \左(u \in Y \equiv \大(u \in X \land \phi(u, p)\大)\右)$在哪里 $\土地$是逻辑和量词, $\φ$是一个任意属性。

在简单的语言中，这个语句等价于“给定任何属性 $\φ$并设置 $X$的所有元素 $X$满足 $\φ。$在非正式的术语中，a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-subsets/" class="wiki_link" title="子集" target="_blank">子集可以用一个简洁的规则来构造一个集合;例如“规则” $x$将偶数应用到整数集，结果是一个新的集合。

联盟公理: $\为所有X \存在Y \为所有u\大(u \在Y \equiv \存在z(z \在X \land u\在z)\大)，$在哪里 $\土地$是逻辑和限定词。

换句话说，对所有人来说 $X$存在一个 $Y$对于所有人来说 $u$， $u \ Y$等同于“There exists ? $z$这样 $在X z \$而且 $u \ z。$直白地说，存在一组 $Y$组成的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-union-and-intersection-easy/" class="wiki_link" title="联盟" target="_blank">联盟所有的元素 $X$．

幂集公理: $\为所有的X\存在Y \为所有的u\大(u \在Y \equiv u\subseteq X\大)$

换句话说，对于任何集合 $X$，存在一个集合 $Y$哪些元素是的子集 $X$．用通俗的语言来说，这个公理表明<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/power-sets/" class="wiki_link" title="幂集" target="_blank">幂集的 $X$的存在。

无穷公理: $\存在S\左(\emptyset \在S\ land \大(\forall x\在S(x \cup \{x\} \在S)\大)\右)$

简单地说，就是an<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/infinity/" class="wiki_link" title="无限" target="_blank">无限集的存在。

公理替换:如果 $F$对于任意集合，是任意函数吗 $X$存在一个集合 $Y = F(X) = \{F(X)， X\ in X\}$．逻辑量词中的表述更为复杂。

函数取任意集合 $一个$到一个新的集合 $B = F ()$

Axiom的规律: $(S \neq \emptyset \暗示(\存在x \在S: S\帽x = \emptyset)\大)$

换句话说，对于所有非空集合 $年代$，存在一个元素 $年代$这是不相交的与 $年代$(与…没有共同的元素 $年代$)．这有两个主要后果:

• 没有一个集合可以成为它自身的一个元素。这解决了<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/russells-paradox/" class="wiki_link" title="罗素悖论" target="_blank">罗素悖论．
• 每个集合都有一个最小的元素 $中\$．

这8个公理定义了一个一致的理论，ZF(当然，要证明这个系统是一致的是非常困难的)。当<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/axiom-of-choice/" class="wiki_link" title="公理的选择" target="_blank">公理的选择加上上面的八大公理，理论就变成了ZFC(“C”代表选择)，这个系统通常被用作数学的基础。

ZFC只是许多可用于数学公式的公理系统中的一个，因此与其他类似系统相比有一定的优点和缺点。

ZFC的主要优点是便于学习<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/set-theory/" class="wiki_link" title="集理论" target="_blank">集理论虽然从某些角度来看，这也是一种劣势。特别是，大多数现代数学可以在较弱的公理系统中被证明<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/peano-axioms/" class="wiki_link" title="皮亚诺公理" target="_blank">皮亚诺公理，所有这些都可以在佐:泽梅洛集合论与<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/axiom-of-choice/" class="wiki_link" title="公理的选择" target="_blank">公理的选择(泽梅洛理论是从抛弃替换公理得到的)。因此，在某种意义上，为了使集合论更容易，ZFC是“太强大”的。

另一方面，另一个常见的批评是ZFC太弱当与其他公理系统比较时。例如,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuum-hypothesis/" class="wiki_link" title="连续统假设" target="_blank">连续统假设(以及其他一些问题)可以被证明独立于ZFC，这意味着它既不能用给定的公理证明也不能用给定的公理推翻。因此，有些选择采用ZFC的各种扩展，或密切相关的系统，如ZF +广告的——在哪里<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/axiom-of-choice/" class="wiki_link" title="公理的选择" target="_blank">公理的选择替换为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/axiom-of-determinacy/" class="wiki_link" title="axiom的坚定性" target="_blank">axiom的坚定性．

此外，还有一些反对意见<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/set-theory/" class="wiki_link" title="集理论" target="_blank">集理论一般来说(详见集合理论页面)。

• 谓词逻辑
• 公理的选择
• Axiom的坚定性