年轻的不平等

让 $p, q$是令人满意的正数 $\frac1{p} + \frac1{q} = 1。$如果 $a、b$是非负实数， $a^p}{p} + b^q}{q}，$当且仅当 $一个^ p = b ^。$

证明1(使用加权AM-GM不等式):设 $W_1 = \frac1p, w_2 = \frac1q。$加权的AM-GM不等式表示 $\压裂{w_1 ^ p + w_2 b ^} {w_1 + w_2} \通用电气\大(p (^) ^ {w_1} (b ^) ^ {w_2} \大)^ {1 / (w_1 + w_2)},$但 $w_1 + w_2 = 1,$左边是 $\压裂{^ p} {p} + \压裂{b ^ q} {q}$右边是 $(a^p)^{1/p} (b^q)^{1/q} = ab。$当且仅当 $一个^ p = b ^$也直接遵循加权AM-GM不等式的陈述。

证明2(用对数):证明定理即可 $a、b > 0。$这个函数 $f (x) = \ ln (x)$都是向下凹的，所以都是正的 $x, y$和 $t \ (0, 1),$ $\ ln \大(tx + (1 - t) y \大)通用电气\ t \ ln (x) + (1 - t) \ ln (y),$当且仅当 $x = y。$

现在设置 $X =a^p, y = b^q, t= fr1p$ $\大($所以 $1 - t = \ frac1q \大)$两边取幂。 $_ \广场$

这个案子 $p = = 2$就是AM-GM的不平等吗 $a ^ 2 ^ 2$： $Ab \le \frac{a^2}2 + b^2。$

让 $n$是一个正整数。求的最小值 $f (x) = x + nx ^ {1 / n}$对于正实数 $x。$

---

这可以通过AM-GM来实现 $\大($在 $x$和 $n$的副本 $x ^ {1 / n} \大),$但杨氏的不平等也适用:除以 $n + 1$得到 $\压裂{f (x)} {n + 1} = \压裂{x} {n + 1} + \压裂{x ^ {1 / n}} {1 + \ frac1n},$和注意, $p = n + 1,$ $q = 1 + \ frac1n$满足 $\frac1{p} + \frac1{q} = 1，$这意味着乘以 $x ^ n$： $\压裂{x ^ n f (x)} {n + 1} = \压裂{x ^ {n + 1}} {n + 1} + \压裂{x ^ {(n ^ 2 - 1) / n}} {1 + \ frac1n}。$现在我们 $y = x ^ {n}。$然后 $\压裂{x ^ nf (x)} {n + 1} = \压裂{x ^ {n + 1}} {n + 1} + \压裂{y ^ {1 + 1 / n}} {1 + \ frac1n} \通用电气xy = x ^ n,$所以 $f (x)通用电气\ n + 1,$事实上，当 $x ^ {n + 1} = x ^ {(n ^ 2 - 1) / n},$或 $x = 1。$ $_ \广场$

正如引言中提到的，杨氏不等式在证明<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/holders-inequality/" class="wiki_link" title="持有人不平等" target="_blank">持有人不平等；详情请参阅维基百科。