什么时候存在限制？GydF4y2Ba

当GydF4y2Ba限制GydF4y2Ba功能是微积分中的基本概念。当存在限制时，GydF4y2Ba限制GydF4y2Ba及其基本GydF4y2Ba属性GydF4y2Ba是可用于计算它的工具。这个wiki的重点将是函数限制可以的方式GydF4y2Ba失败GydF4y2Ba在给定点处存在，即使在该点的邻域中定义该函数。GydF4y2Ba

函数限制不存在的常见情况是GydF4y2Ba单面限制GydF4y2Ba存在并且不等于：函数“跳跃”在点。GydF4y2Ba

限制GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $X_0.GydF4y2Ba$不存在。GydF4y2Ba^[1]GydF4y2Ba

对于这个功能GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$在图片中，单面限制GydF4y2Ba $\ lim \ limits_ {x \ to x_0 ^ - } f（x）GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\ lim \ limits_ {x \ to x_0 ^ +} f（x）GydF4y2Ba$两者都存在，但它们不一样，这是存在（双面）限制的要求。这通常是写的GydF4y2Ba

$\ lim_ {x \ to x_0} f（x）= \ text {dne}，GydF4y2Ba$

“DNE”代表“不存在”。GydF4y2Ba

当不存在限制时的另一个常见情况涉及“吹嘘”的功能GydF4y2Ba $\ infty.GydF4y2Ba$或者GydF4y2Ba $- \ infty。GydF4y2Ba$该图表的特征在于垂直渐近GydF4y2Ba $x = 0：GydF4y2Ba$

单面限制GydF4y2Ba $f（x）= \ frac1xGydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $x = 0.GydF4y2Ba$不存在。GydF4y2Ba^[2]GydF4y2Ba

说这是正确的GydF4y2Ba $\ lim \ limits_ {x \ to 0 ^ - } \ frac1 {x}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\ lim \ limits_ {x \到0 ^ +} \ frac1 {x}GydF4y2Ba$不存在，在这种情况下，限制通常是写入的GydF4y2Ba

$\ lim_ {x \ to 0 ^ - } \ frac1 {x} = - \ idty \ qquad \ text {and} \ qquad \ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ frac1 {x} = \ idty。GydF4y2Ba$

这是标准表示法，其具有更具体的涉及这些限制无法存在的方式。对于正式的定义，见GydF4y2Ba无限限制GydF4y2Ba部分。GydF4y2Ba

当单面限制以相同的方式爆炸时，这可以缩短到单个双面极限，例如单个双面极限。GydF4y2Ba

$\ lim_ {x \ to 0 ^ - } \ frac1 {x ^ 2} = \ infty \ qquad \ text {and} \ qquad \ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ frac1 {x ^ 2} = \ idty。GydF4y2Ba$

所以，GydF4y2Ba

$\ lim_ {x \ to 0} \ frac1 {x ^ 2} = \ idty，GydF4y2Ba$

但应该强调的是GydF4y2Ba $\ lim \ limits_ {x \ to 0} \ frac1 {x ^ 2}GydF4y2Ba$不存在;GydF4y2Ba说它“等于GydF4y2Ba $\ infty.GydF4y2Ba$“只是一种描述它不存在的原因。GydF4y2Ba

给出不存在限制的第三类功能是最异乎寻常的。如果GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$没有跳过或爆炸GydF4y2Ba $X_0.GydF4y2Ba$但GydF4y2Ba $\ lim \ limits_ {x \ to x_0} f（x）GydF4y2Ba$不存在，普通图片是GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$即使它的参数移动更近且靠近），也要彼此远离彼此的多个值GydF4y2Ba $x_0。GydF4y2Ba$

标准示例是GydF4y2Ba $f（x）= \ sin \ frac1xGydF4y2Ba$靠近GydF4y2Ba $x_0 = 0。GydF4y2Ba$

功能GydF4y2Ba $\ sin \ frac1xGydF4y2Ba$通常越过振荡，因为它接近0。GydF4y2Ba^[3]GydF4y2Ba

如果GydF4y2Ba $\ lim \ limits_ {x \到0 ^ +} \ sin \ frac1x = lGydF4y2Ba$是真的GydF4y2Ba $我，GydF4y2Ba$然后限制的定义意味着有一个开放的间隔GydF4y2Ba $（0，\ delta）GydF4y2Ba$这样的价值GydF4y2Ba $\ sin \ frac1xGydF4y2Ba$对于GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$在那个间隔内，说，GydF4y2Ba $0.1GydF4y2Ba$ofGydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$但无论多么小GydF4y2Ba $\三角洲GydF4y2Ba$可能是，它必须包含GydF4y2Ba $x_1 = \ frac1 {2n \ pi}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $x_2 = \ frac1 {\ big（2n + \ frac12 \ big）\ pi}GydF4y2Ba$对于一些足够大的GydF4y2Ba $N。GydF4y2Ba$自从GydF4y2Ba $\ sin \ frac1 {x_1} = 0GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\ sin \ frac1 {x_2} = 1，GydF4y2Ba$这是一个矛盾。GydF4y2Ba

值得强调的是，上述示例是所有功能GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$这在围绕该点的开放间隔的每个点定义GydF4y2Ba $X_0.GydF4y2Ba$有问题，除了可能的GydF4y2Ba $X_0.GydF4y2Ba$本身。还有其他功能的例子，没有双面限制GydF4y2Ba $X_0.GydF4y2Ba$因为这个假设失败了。GydF4y2Ba

$\ lim \ limits_ {x \ to 0} \ sqrt {x}GydF4y2Ba$不存在的简单原因GydF4y2Ba $\ sqrt {x}GydF4y2Ba$未在包含任何开放间隔内定义GydF4y2Ba $0，GydF4y2Ba$自域名是GydF4y2Ba $[0，\ idty）。GydF4y2Ba$

$x = 0.GydF4y2Ba$是域的一个端点GydF4y2Ba $f（x）= \ sqrt {x}。GydF4y2Ba$^[4]GydF4y2Ba

1. 亚历山德罗夫，o.GydF4y2Ba不连续GydF4y2Ba。检索2005年9月12日，来自GydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/wiki/file:discontinuity_jump.eps.pngGydF4y2Ba
2. 理查兹，G。GydF4y2Ba矩形双曲线GydF4y2Ba。检索2008年7月2日，来自GydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/wiki/file :rectangular_hyperbola.svg.GydF4y2Ba
3. Thoma，M。GydF4y2Ba罪（1 / x）GydF4y2Ba。从2012年9月18日恢复了GydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/wiki/file:sin%281x%29.svgGydF4y2Ba
4. 理查兹，G。GydF4y2Ba平方根GydF4y2Ba。检索2008年7月2日，来自GydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/wiki/file:square_root_0_25.svg.GydF4y2Ba